Най-малка стойност на функция

[nikola.topalov]

Да се намери най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=x^4+4x+\cos(\pi x)[/tex].

[ptj]

[tex]g(x)=x^4+4x[/tex]
Горната функция е непрекъсната и има два реални корена - 0 и [tex]\sqrt[3]{4}[/tex].
[tex]g'(x)=4(x^3+1)=4(x+1)(x^2-x+1)=4(x+1)((x- \frac{1}{2})^2+ \frac{3}{4})[/tex] има само един реален корен [tex]x=-1[/tex],
който е абсолютен минимум ([tex]g"(-1)=12.(-1)^2=12>0[/tex] и g(x) клони към +[tex]\infty[/tex] при [tex]x= \pm \infty[/tex]).

Тъй като [tex]-1 \le cos( \pi x) \le 1[/tex] също има мимимум при [tex]x=1[/tex], окончателно минимума на[tex]f(x)=x^4+4x+cos( \pi x)[/tex] се достига при [tex]x=-1[/tex].

[tex]f(-1)=(-1)^4+4.(-1)+cos(-1. \pi )=1-4-1=-4[/tex]