Диференцируемост

[Гост]

Как да докажа, че f(x) не е диференцируема в х=0
И f(x)=x|x|

[Davids]

По дефиниция функция $f$ е диференцируема в точка $a$, ако съществува $f'(a) := \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)} {x-a} $

За да съществува границата, трябва границите от двете страни да съществуват и да са равни. В случая с дадената функция лявата и дясната граница в нулата съществуват, но не са равни, и точно това ще покажем сега:

Отляво:
$\lim_{x\to 0^-} \frac{f(x) - f(0)} {x-0} = \lim_{x\to 0^-} \frac{|x| - |0|} {x-0} = \lim_{x\to 0^-} \frac{|x|} {x} = \lim_{x\to 0^-} -1 = -1$
Тук ползвахме факта, че "отляво" на нулата $x$ приема само отрицателни стойности, затова $\frac{|x|} {x} = \frac{-x} {x} = - 1$

Отдясно:
$\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x) - f(0)} {x-0} = \lim_{x\to 0^+} \frac{|x| - |0|} {x-0} = \lim_{x\to 0^+} \frac{|x|} {x} = \lim_{x\to 0^+} 1 = 1$
Аргументацията е същата, но "отдясно" на нулата.

Е, двете граници са различни, така че според дефиницията $f'(0) := \lim_{x\to 0} \frac{f(x) - f(0)} {x-0}$ не съществува, следователно функцията не е диференцируема в $x=0$.