Монотонност на функция

[Гост]

Как да определя интервалите на растене и намаляване на функцията f(x)=|x-1|
Ако следвам стъпките трябва да намеря първа производна, която при единият случай е 1, а при другият -1…

[ammornil]

Достатъчно условие за растене не функция [tex]\begin{cases} \exists f(x) \in [a;b] \\ \exists f'(x) \in [a;b] \\ f'(x)>0, \> \forall x \in [a;b] \end{cases}[/tex]

Достатъчно условие за намаляване не функция [tex]\begin{cases} \exists f(x) \in [a;b] \\ \exists f'(x) \in [a;b] \\ f'(x)<0, \> \forall x \in [a;b] \end{cases}[/tex]

Забележка: интервалите на дефиниция може да не са затворени

Разглеждаме дефиницията на функцията.
[tex]f(x)=|x-1| \Rightarrow f(x) = \begin{cases} 1-x, \> (x<1) \\ x-1, \> (x \ge 1) \end{cases}[/tex]
Раглеждаме всеки дефиниционен интервал по отделно.
[tex]x<1[/tex]
[tex]f'(x)=-1 <0, \> \forall x \in (- \infty; 1) \Rightarrow[/tex] функцията е намаляваща в целия интервал.

[tex]x \ge 1[/tex]
[tex]f'(x)=1 >0, \> \forall x \in [1; \infty ) \Rightarrow[/tex] функцията е растяща в целия интервал.

ако първата производна не е константа, тогава се разглежда дали първата производна променя знака си в избрания за [tex]x[/tex] интервал, което от своя страна може да "разбие" този избран интервал на подинтервали на растене и намаляване на функцията, според условието на частния случай.
[tex][/tex]