Кога функцията има 2 екстремума

[Гост]

Трябва да намеря такова a, за което функцията f(x)= x^3-(2a-4)x^2+(a-2)x+1 да има два екстремума.

[Davids]

За да имаш два екстремума, ти стига производната да има две нули, в които си сменя знака.

За щастие $f$ е полином от трета степен, чиято производна ще е квадратен тричлен, на който ще трябва да осигурим два различни корена - оттам смяната на знака ни е гарантирана поради свойствата на параболите (в частност непрекъснатост).

И тъй, търсим за кои $a$ функцията
$f'(x) = 3x^2 - 4(a-2)x + a - 2$
има два различни корена.

Натам вече можеш ли сам?

[Ели Илиева]

Благодаря много!
Дискриминантата трябва да е положителна. Ще се справя нататък.
Ако може да ми помогнете за подобна задача - пак от трета степен, но трябва да няма екстремуми.
Трябва да намеря такова a, за което функцията f(x)= (x^3)/3-(a+3)x^2+(3a-1)x+1 да няма локални екстремуми.

[Ели Илиева]

Аз май успях да я реша. Не знам дали е вярна--
f'(x)=x^2-2(a+3)x-(3a-1) трябва да не става 0, т.е. дискриминантата на f'(x)=0 трябва да е отрицателна.
D=4(a+3)^2-4(1-3a)<0

[Ели Илиева]

Не се получи по този начин, защото стигнах до там, че D=4(a^2+3a+10)<0, което няма решение, защото неговата дискриминанта<0.
Какво се прави в този случай?

[Davids]

Аз май успях да я реша. Не знам дали е вярна--
f'(x)=x^2-2(a+3)x-(3a-1) трябва да не става 0, т.е. дискриминантата на f'(x)=0 трябва да е отрицателна.
D=4(a+3)^2-4(1-3a)<0

Този минус червения откъде дойде? Струва ми се, че е редно да е плюс

[Ели Илиева]

Да, червеният минус си е плюс.
И D=4(a^2+3a+10)=4((a+3/2)^2+31/4) винаги е положителна, т.е. ще си има корени.
След като ми се объркаха плановете за D<0, нямам друга идея - как да няма екстремуми.