Limit на функции

[Гост]

Как се изчисляват лимесите на следните функции:

(x^ln(x))/(ln(x))^x , x->[tex]\infty[/tex]

x^(x+1) - (x+1)^x, x->[tex]\infty[/tex]

Моля, помогнете!

[Davids]

1. Нека $L := \lim_{x\to\infty}\frac{x^{lnx}}{(lnx)^x}$

$\Rightarrow lnL = ln\left( \lim_{x\to\infty}\frac{x^{lnx}}{(lnx)^x}\right) = \lim_{x\to\infty}\ln\left(\frac{x^{lnx}}{(lnx)^x}\right) = \lim_{x\to\infty}\left(\ln(x^{lnx}) - \ln((lnx)^x)\right) = \lim_{x\to\infty}\left(ln^2x - xln(lnx)\right)$

$\Rightarrow lnL = \lim_{x\to\infty}\underbrace{x}_{\to\infty}\left(\underbrace{\frac{ln^2x}{x}}_{\to 0} - \underbrace{ln(lnx)}_{\to \infty}\right) = -\infty$

Значи $L = 0$

2. $\lim_{x\to\infty}x^{x+1} - (x+1)^x = \lim_{x\to\infty}x^x\left(x - \underbrace{\left(\frac{x+1}{x}\right)^x}_{\to e}\right) = \lim_{x\to\infty}x^{x+1} = \infty$

[Гост]

Благодаря! Първата задача ми се вижда доста засукана, но явно няма по- просто решение.