намерете производната на функцията

[Гост]

функцията е f(x) = ((x+1)/(x-1))^3

[ammornil]

функцията е f(x) = ((x+1)/(x-1))^3

[tex]f(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{3}, \hspace{2em} \rightarrow t=\frac{x+1}{x-1} \Rightarrow[/tex]$$ f(x)=t^{3} \Rightarrow f'(x)=3\cdot{t^{2}}\cdot{t'} $$

Скрит текст: покажи

[tex]\begin{cases} u=x+1 \rightarrow u'=1 \\ v=x-1 \rightarrow v'=1 \end{cases} , t=\frac{x+1}{x-1}=\frac{u}{v} \rightarrow t'=\frac{u'\cdot{v}-v'\cdot{u}}{v^{2}}=\frac{1\cdot{(x-1)}-1\cdot{(x+1)}}{(x-1)^{2}}[/tex]

[tex]\hspace{18em}t'=\frac{x-1-x-1}{(x-1)^{2}}=\frac{-2}{(x-1)^{2}}[/tex]

[tex]f(x)=t^{3} \Rightarrow f'(x)=3\cdot{t^{2}}\cdot{t'}=3\cdot{\left(\frac{x+1}{x-1} \right)^{2}}\cdot{\left(-\frac{2}{(x-1)^{2}} \right)}=-6\cdot{\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}[/tex]

[Гост]

благодаря , може ли и още една
f(x) = cos^2(3x)
получавам -sin(6x) ,
а отговора е -3sin(6x)

[ammornil]

благодаря , може ли и още една
f(x) = cos^2(3x)
получавам -sin(6x) ,
а отговора е -3sin(6x)

[tex]f(x) = \cos^{2}{(3x)}=[\cos{(3x)}]^{2}[/tex]
[tex]t(x)=3x \Rightarrow t'(x)=3[/tex]
[tex]v(x)=\cos{t(x)} \Rightarrow v'(x)=-\sin{t(x)}\cdot{t'(x)}=-3\sin{(3x)}[/tex]
[tex]f(x)=[v(x)]^{2} \Rightarrow f('x)=2\cdot{v(x)}\cdot{v'(x)}=2\cdot{\cos{(3x)}}\cdot{(-3\sin{(3x)})}-3\cdot{\underbrace{2\sin{(3x)}\cos{(3x)}}_{\sin{(6x)}}}=-3\sin{(6x)}[/tex]

[Гост]

Не мога да го разбера , кои формули си ползвал ?

[ammornil]

Не мога да го разбера , кои формули си ползвал ?

Ако имаме функция, която има за аргумент функция, която има за аргумент функция, развиваме производната отвътре навън.

[tex]p(x)=f(g(h(x))) \rightarrow p'(x)=h'(x) \cdot g'(h(x)) \cdot f'(g(h(x)))[/tex]

В нашия случай: [tex]h=3x, g=\cos{h}, f=g^{2} \Rightarrow h'=3, g'=-\sin{h}, f'=2g \Rightarrow p'(x)=3\cdot -\sin{(3x)} \cdot 2\cos{(3x)}=\cdots[/tex]

Използвам от таблица на основните производни: [tex]a=const, x = var[/tex]
$$ \begin{matrix} y= & & y'= \\ \\ a\cdot{x} & & a \\ \\ x^{n} & & n\cdot x^{n-1} \\ \\ \cos{x} & & -\sin{x} \end{matrix}$$

Надявам се това да Ви е от помощ.

[Гост]

затруднявам се с намирането на първата и на втората
прозиводна на ф-ята ф(х) = (х + 2)/(1 - х)

[ammornil]

затруднявам се с намирането на първата и на втората прозиводна на ф-ята ф(х) = (х + 2)/(1 - х)

[tex]\varphi(x)=\frac{x+2}{1-x}[/tex]
[tex]\text{ДМ}:\hspace{0.5em} 1-x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1 \Rightarrow x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)[/tex]

[tex]\begin{cases} u(x)=x+2 \Rightarrow u'(x)=1 \\ v(x)=1-x \Rightarrow v'(x)=-1 \end{cases} \rightarrow \varphi(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow \varphi'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v^{2}(x)}[/tex] $$ \varphi'(x)=\frac{1\cdot (1-x)-(x+2)\cdot (-1)}{(1-x)^{2}}=\frac{1-x+x+2}{(1-x)^{2}}=\frac{3}{(1-x)^{2}} $$

[tex]\begin{cases} w(x)=3 \Rightarrow w'(x)=0 \\ z(x)=(1-x)^{2} \Rightarrow z'(x)=2\cdot(1-x)\cdot (-1)=-2\cdot (1-x)\end{cases} \Rightarrow \varphi''(x)=\frac{w'(x)\cdot z(x)-z'(x)\cdot w(x)}{z^{2}(x)}[/tex] $$ \varphi''(x)=\frac{0\cdot (1-x)^{2}-[-2\cdot (1-x)]\cdot 3)}{(1-x)^{4}}=\frac{6\cdot (1-x)}{(1-x)^{4}} = \frac{6}{(1-x)^{3}} $$