НМС и НГС на ф-я

[Гост]

ф-я f(x) = x^4 - 8x^2 - 9
Да се намери НМС и НГС в интервала x E [-1;1]

Също така не ми е ясно как се процедира когато ф-ята има
повече от един екстремуим в дадения интервал ?

[ammornil]

ф-я f(x) = x^4 - 8x^2 - 9
Да се намери НМС и НГС в интервала x E [-1;1]

Също така не ми е ясно как се процедира когато ф-ята има
повече от един екстремуим в дадения интервал ?

1) определяме дефиниционното множество на функцията и го пресичаме с интервала на изследване (ако е даден такъв)
2) намираме първата произовдна на функцията и определяме в коит точки тя приема стойност нула- това са точките на локалните екстремуми (ако съществуват)
3) намираме втората производна и определяме стойността на втората производна във всяка точка, за която първата производна е нула и принадлежи на ДМ. ако втората производна е отрицателна, значи в тази точка функцията има локален максимум; ако втората производна е положителна, значи в тази точка функцията има локален минимум.
4) намираме стойносттите на функцията в локалните екстремуми и в краищата на дадения интервал на изследване.
5) от получените точки определяме най-голяма и/или най-малка функция. независомо колко и какви екстремуми има фуницкията в интервала на изследване, в повечето случаи най-голямата и най-малката стойност са определени по веднъж в интервала.

Скрит текст: покажи

Screenshot 2023-05-29 190540.png (26.38 KiB) Прегледано 1633 пъти

[tex]f(x)=x^{4}-8x^{2}-9, \hspace{2em} x \in [-1;1][/tex]
[tex]\text{ДМ}: x \in (-\infty; +\infty) \cap [-1;1] \Rightarrow x \in [-1;1][/tex]
[tex]f'(x)=4x^{3}-16x=4x(x^{2}-4)=4x(x-2)(x+2)[/tex]
[tex]\hspace{3em} f'(x)=0 \rightarrow x_{1}=0 \in \text{ДМ}, x_{2}=2 \notin \text{ДМ}, x_{3}=-2 \notin \text{ДМ}[/tex]
[tex]f''(x)=12x^{2}-16 \rightarrow f''(0)=-16 \Rightarrow \text{ локален максимум}[/tex]
[tex]\hspace{3em} \begin{array}{l} f(-1)=-16 \\ f(0)=-9 \\ f(1)=-16 \end{array} \Rightarrow \because x \in [-1;1] \begin{cases} f_{max}=f(0)=-9 \\ f_{min}=f(-1)=f(1)=-16 \end{cases}[/tex]

[ptj]

Само да добавя - съществено е, че дадената функция е непрекъсната. Тогава за да намерим нейните минимум и максимум трябва да сравним помежду им всички локални екстремуми и стойностите на функцията в краищата на интервала, т.е. да вземем съответно най-малката и най-голямата стойност от получените резултати (числа).

[ptj]

Само да добавя - съществено е, че дадената функция е непрекъсната. Тогава за да намерим нейните минимум и максимум трябва да сравним помежду им всички локални екстремуми и стойностите на функцията в краищата на интервала, т.е. да вземем съответно най-малката и най-голямата стойност от получените резултати (числа).

[grav]

@ammornil точка 3) е излишна.

[Гост]

ясно , а може ли пример за лок.мин. с пол-голяма стойност от лок.макс ?
и въобще възможно ли е това ?

[pal702004]

ясно , а може ли пример за лок.мин. с пол-голяма стойност от лок.макс ?
и въобще възможно ли е това ?

$f(x)=x+\frac 1 x$

А може и непрекъсната...напр. полином от 6 степен.

[Гост]

ами в такъв случай как се намира НМС и НГС на ф-ята ?

[ammornil]

ами в такъв случай как се намира НМС и НГС на ф-ята ?

Във всеки случай подходът е един и същ:
1. намираме дефиниционното множество (то отразява прекъсванията, ако има такива) и го пресичаме с дадения интервал за да намерим целевия интервал.
2. намираме как се изменя функцията в целевия интервал (или във всички части на целевия интервал ако е прекъснат) и дали има локални екстремуми в него (ако има екстремуми определяме техния тип и стойност)
3. намираме стойностите на функцията в краищата на целевия интервал.
4. срявняваме всички така намерени стойности на функцията помежду им и определяме къде има най-голяма и/или най-малка стойност.

[Гост]

Ами ако интервалът е отворен и функцията има
лок.мин. с по-голяма стойност от лок.макс кое е НМС и НГС на ф-ята ?

[ammornil]

Ами ако интервалът е отворен и функцията има лок.мин. с по-голяма стойност от лок.макс кое е НМС и НГС на ф-ята ?

Обикновено интервалие на разглеждане са затворени, за да може да се определи стойността на функцията в краищата на интервала. Ако интервалът е отворен, можем да намерим границата на функцията когато аргументът се стреми към края на интервала. В този случай, ако границата е по-голяма или по-малка от всички намерени стойности, задачата няма еднозначно решение съответно за НГС или за НМС.

Локалните екстремуми имат подвеждащи имена, но те не винаги представляват минимум или максимум в интервала на разглеждане. Понякога в локалния минимум фунцията има най-голяма стойност в интервала, а в локалния максимум функцията има най-малка стойност.

За функции с прекъсване в разглеждания интервал:
§ при които в точката на прекъсване границата на функцията се стреми към плюс безкрайност нямаме най-голяма стойност на функцията в разглеждания интервал.
§ при които в точката на прекъсване границата на функцията се стреми към минус безкрайност нямаме най-малка стойност на функцията в разглеждания интервал.
Тогава просто правите констатацията, че няма НМС или НГС в разглеждания интервал.