Една растяща и една намаляваща функция

[Гост]

Здравейте. Не знам как формално да докажа следното:
Дадени са две функции - една растяща f и една намаляваща g. Да се докаже, че f и g се пресичат най-много в една точка.

Мисля, че трябва да се използват дефинициите за растяща и намаляваща функция, но не знам как точно да подходя, за да докажа това твърдение чисто формално.

[grav]

Допусни, че се пресичат в повече от една точка. Като вземиш две такива точки, какво може да кажеш за стойностите на всяка от двете фунции?

[ptj]

Може да го видиш по-добре ако построиш вертикална и хоризонтална прави права през точката на пресичане. Сега 4-те клона на двете функции са във вътрешността на 4 различни полуравнини , т.е. няма как да имат повече общи точки.

П.П. Горното може да се докаже, но ще е по-дълго от предложеното от "grav".

Интересен е също въпроса : Могат ли да се конструират растящи (в околност на точка) непрекъснати недиференцируеми функции?

[grav]

Интересен е също въпроса : Могат ли да се конструират растящи (в околност на точка) непрекъснати недиференцируеми функции?

Ако графиката има чупка, функцията няма да е диференцируема в тази точка.

[Румен Симеонов]

От растящата вадиш намаляващата и получаваш растяща. Допускаш, че има поне една точка на пресичане. Функцията - разлика се анулира в тази точка. Понеже е растяща следва, че наляво от точката тя е отрицателна, а надясно -- положителна. Следва, че в никояя друга точка не е пак нула. Следва и, че изходните 2 функции не се пресичат нито наляво нито надясно от първата пресечна точка. Т.е.- доказахме, че ако има поне една пресечна точка на графиките то няма втора пресечна точка на графиките, което решава задачата.

Всичко това следва САМО от дефинициите за растяща/намаляваща функция, които гарантират строги неравенства. Ако неравенствата не са строги функцията се нарича ненамаляваща/ненарастваща или нестрого растяща или нестрого намаляваща. Растяща означава строго растяща. Намаляваща означава строго намаляаща.