инфлексна точка , изптъкналост и вдлъбнатост на ф-я

[Гост]

ф(х) = (2х - 3 )/(3х + 2)

Да се изследва за инфл. точка , вдлъбнатост и изпъкналост.
Затруднявам се с намирането на втората производна..

[ammornil]

ф(х) = (2х - 3 )/(3х + 2) Да се изследва за инфл. точка , вдлъбнатост и изпъкналост.
Затруднявам се с намирането на втората производна..

Втората производна не Ви е нужна, функцията няма локални екстремуми.

Скрит текст: покажи

$$ \varphi(x)=\frac{2\cdot x-3}{3\cdot x+2} $$

[tex]\text{ДМ: } 3\cdot x+2 \ne 0 \Leftrightarrow 3\cdot x \ne -2 \Leftrightarrow x \ne -\frac{2}{3} \rightarrow x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (-\frac{2}{3};+\infty)[/tex]

[tex]\begin{cases} u(x)=2\cdot x-3 \rightarrow u'(x)=2 \\ v(x)=3\cdot x+2 \rightarrow v'(x)=3 \end{cases} \Rightarrow \varphi(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow \varphi'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-v'(x)\cdot u(x)}{v^{2}(x)}[/tex]

[tex]\varphi'(x)=\frac{2\cdot(3\cdot x+2)-3\cdot (2\cdot x-3)}{(3\cdot x+2)^{2}}=\frac{6\cdot x+4-6\cdot x+9}{(3\cdot x+2)^{2}} \rightarrow[/tex]$$ \varphi'(x)=\frac{13}{(3\cdot x+2)^{2}} $$

[tex]\varphi'(x) > 0 \hspace{1em} \forall x \in \text{ ДМ } \Rightarrow[/tex] функцията няма локални екстремуми.

[tex]\lim_{x \to -\frac{2}{3} - 0 }\frac{2\cdot x-3}{3\cdot x+2} = \cdots =\frac{ \rightarrow -\frac{13}{3}}{ \rightarrow -0} = +\infty[/tex]

[tex]\lim_{x \to -\frac{2}{3} + 0 }\frac{2\cdot x-3}{3\cdot x+2} = \cdots =\frac{\rightarrow -\frac{13}{3}}{\rightarrow +0} = -\infty[/tex]

Все пак ако Ви е интересно, втората производна изглежда така:

Скрит текст: покажи

[tex]\begin{cases} w(x)=13 \rightarrow w'(x)=0 \\ z(x)=(3\cdot x+2)^{2} \rightarrow z'(x)=2\cdot (3\cdot x+2)\cdot 3=6\cdot(3\cdot x+2) \end{cases} \Rightarrow \varphi''(x)=\frac{w'(x)\cdot z(x)-z'(x)\cdot w(x)}{z^{2}(x)}[/tex]

[tex]\varphi''(x)=\frac{0-6\cdot (3\cdot x+2)\cdot 13}{[(3\cdot x+2)^{2}]^{2}} \Rightarrow \varphi''(x)=\frac{-78\cdot (3\cdot x+2)}{(3\cdot x+2)^{4}} \Rightarrow[/tex]$$ \varphi''(x)=\frac{-234\cdot x-156}{(3\cdot x+2)^{4}} $$

[Румен Симеонов]

Внимание! Накои писания могат да Ви подведат да си помислите, че всяка функция която няма локални екстремуми задължително няма инфлексни точки, а също и, че винаги е по-лесно да се намерят и установят интервали/те на изпъкналост/вдлъбнатост чрез съответно намиране и установяване на интервали/те, в които първата производна е нестрого растяща/нестрого намаляваща, вместо чрез съответно намиране и установяване на интернали/те, в които втората производна е неотрицателта/неположителна.

[grav]

Внимание! Накои писания могат да Ви подведат да си помислите, че всяка функция която няма локални екстремуми задължително няма инфлексни точки, ...

Зависи от терминологията. Ако под локален екстремум се разбира критична точка, това включва и инфликсните точки.

[Румен Симеонов]

Към ученика:
...Не зависи от терминологията. Никъде в никой учебен текст понятията ,,локален екстремум" и ,,критична точка" не се приравняват. Има си дефиниции за локален минимум и за локален максимум, общо наричани локални екстремуми. Дори и да се приравнят, нито локалните екстремуми нито критичните точки са длъжни да бъдат инфлексни точки, нито пък обратното е вярно. Съответно, спокойно може една функция да няма локални екстремуми и да няма критични точки, но да има инфлексни точки. Някои форумни текстове от самозвани ментори-хулигани със или без диплома за хулиган, могат сериозно да объркат подготовката Ви и жестоко да Ви навредят. Проверявайте твърденията на всеки форумец правещ се на ,,учител", включително и моите, с учебниците и-или с други надеждни източници или с Ваши собствени разсъждения стъпили на надеждни източници!!

[grav]

Към ученика:
...Не зависи от терминологията. Никъде в никой учебен текст понятията ,,локален екстремум" и ,,критична точка" не се приравняват. Има си дефиниции за локален минимум и за локален максимум, общо наричани локални екстремуми. Дори и да се приравнят, нито локалните екстремуми нито критичните точки са длъжни да бъдат инфлексни точки, нито пък обратното е вярно. Съответно, спокойно може една функция да няма локални екстремуми и да няма критични точки, но да има инфлексни точки. Някои форумни текстове от самозвани ментори-хулигани със или без диплома за хулиган, могат сериозно да объркат подготовката Ви и жестоко да Ви навредят. Проверявайте твърденията на всеки форумец правещ се на ,,учител", включително и моите, с учебниците и-или с други надеждни източници или с Ваши собствени разсъждения стъпили на надеждни източници!!

Да, прав си, но може малко по-спокойно.

[Гост]

И с много по-малко думи.

[Knowledge Greedy]

Относно втората производна и производните от по-висок ред.
ф(х) = (2х - 3 )/(3х + 2)

При дробните функции, каквато е вашата [tex]ф(x) =\frac{2x - 3}{3x + 2}[/tex]
често е целесъобразно да отделите цяла част

[tex]ф(x) =\frac{ \frac{2}{3}(3x+2) - 3 - \frac{4}{3} }{3x + 2}=\frac{ \frac{2}{3}\cancel{(3x+2)}}{\cancel{(3x+2)}}-\frac{ 4\frac{1}{3} }{3x + 2}=\frac{2}{3}- \frac{13}{3}. \frac{1}{3x + 2}[/tex]
Сега вече, от този вид
[tex]ф(x) =\frac{2}{3}- \frac{13}{3}. \frac{1}{3x + 2}[/tex]

производната от всеки ред може да бъде намерена кратко и бързо, тъй като цялата част [tex]\frac{2}{3}[/tex] е константа и има производна нула.
В случая [tex]ф'(x) = \frac{13}{\cancel{3}}. \frac{1}{(3x + 2)^2}.\cancel{3}= \frac{13}{(3x + 2)^2}[/tex]

[tex]ф''(x) = - \frac{78}{(3x + 2)^3}[/tex]

Един допълнителен съвет. Ако самата мисъл за отделяне на цяла част ви изпотява, за препоръчване е да използвате показаното в скрития текст на колегата ammornil » Чет Юни 01, 2023 9:19 pm
______________
Сега забелязвам, че в скритото решение не е съкратен множителят [tex](3x+2)[/tex].