Що е то асимптота и как се намира ?

[Гост]

Що е то асимптота и как се намира ?

Не мога да го разбера ако може по-подробно , че
границите са ми много слабо място.

[ammornil]

Що е то асимптота и как се намира ?
Не мога да го разбера ако може по-подробно, че границите са ми много слабо място.

Боя се, че се налага да понаучите за граници преди да разгледате асимптоти, просто темите са свързани. Освен това граници ще Ви трябват по-късно и за диференциране, интегриране, изследване на поведението на функции, и някои оптимизационни задачи.

Асимптота е права, която показва прекъсване в графиката на функция (описва съвкупност от точки, в които функцията няма дефинирана стойност).
Според ъгъла, който такава права сключва с абсцисната ос (оста Ох), асимптотите биват:

* вертикална- перпендикулярна на абсцисата. Когато аргументът се стреми към точката в която асимптотата пресича абсцисната ос, графиката на функцията се стреми към безкрайност. Уравнението на вертикална асимптота е [tex]x=const \hspace{1em} \forall x \in \text{ДМ}[/tex]. Вертикалните асимптоти са в точките, където функцията не е дефинирата (прекъсванията за [tex]x[/tex]). Такива точки са обикновено там, където знаменател става равен на нула.

* хоризонтална- успоредна на асимптотата. Когато аргументът се стреми към плюс или минус безкрайност, графиката на функцията се стреми към конкретна стойност, различна от безкрайност. Уравнението на вертикална асимптота е [tex]y=const \hspace{1em} \forall x \in \text{ДМ}[/tex]. Хоризонталната асимптота, ако съществува, е стойността на границата на функцията когато аргументът се стреми към бекрайност. [tex]y=\lim_{x \to \pm \infty}f(x)[/tex]. Асимтотата съществува ако границата има стойност различна от безкрайност.

* наклонена- пресича абсцисата под ъгъл различен от 90 градуса. Подобна на вертикалната асимтота, но вместо да се стрми към права перпендикулярна на абсцисата, графиката на функцията се стреми към права от вида [tex]y=kx+m \rightarrow \begin{cases} k= \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} \\ m=\lim_{x \to \infty}[f(x)-k\cdot x] \end{cases}[/tex]. Ако [tex]k[/tex] е равно на нула или безкрайност, нямаме наклонени асимптоти

Пример: Да се намерят асимптотите на функциите:
(а)[tex]f(x)=\frac{x}{x^{2}+3}\hspace{5em}[/tex](б)[tex]f(x)=\frac{3x-2}{x-1}[/tex]

(а) Функцията няма прекъсвания в дефиниционното множество, защото знаменателят никога не става нула. Значи нямаме ветрикална асимптота.
За хоризонтална асимтота търсим [tex]y=\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{x^{2}+3}=\frac{x}{x\cdot (x+\frac{3}{x})}=\frac{1}{x+\frac{3}{x}}=\cdots =\frac{1}{\infty+\frac{3}{\infty}}=\frac{1}{\infty+0}=\frac{1}{\infty}=0[/tex]. Оказва, се че хоризонталната асимптота е абсцисната ос.

Скрит текст: покажи

(ВНИМАНИЕ: всички дробни функции, за които степента на числителя е по-малка от степента на знаменателя имат хоризонтална асимптота съвпадаща с абсцисната ос.)

Да потърсим наклонени асимптоти.
[tex]k=\lim_{x \to -\infty}\frac{x}{x(x^{2}+3)}=\lim_{x \to -\infty}\frac{x}{x^{3}(1+\frac{3}{x^{2}})}=\lim_{x \to -\infty}\frac{\frac{x}{x^{3}}}{1+\frac{3}{x^{2}}}=\lim_{x \to -\infty}\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{3}{x^{2}}}=\cdots =\frac{\frac{1}{\infty}}{1+\frac{3}{\infty}}=\frac{0}{1+0}=0 \Rightarrow[/tex] няма наклонени асимптоти.
[tex]k=\lim_{x \to \infty}\frac{x}{x(x^{2}+3)}=\lim_{x \to \infty}\frac{x}{x^{3}(1+\frac{3}{x^{2}})}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{x}{x^{3}}}{1+\frac{3}{x^{2}}}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{3}{x^{2}}}=\cdots =\frac{\frac{1}{\infty}}{1+\frac{3}{\infty}}=\frac{0}{1+0}=0 \Rightarrow[/tex] няма наклонени асимптоти.



(б)[tex]f(x)=\frac{3x-2}{x-1}[/tex]
Знаменателят може да стане нула при [tex]x=1[/tex], следователно това е вертикална асимптота.
Търсим хоризонтални асимптоти: [tex]y=\lim_{x \to +\infty}\frac{3x-2}{x-1}=\lim_{x \to +\infty}\frac{x\left(3-\frac{2}{x} \right)}{x\left( 1-\frac{1}{x} \right)}=\lim_{x \to +\infty}\frac{3-\frac{2}{x} }{1-\frac{1}{x}}=\cdots =\frac{3-\frac{2}{\infty} }{1-\frac{1}{\infty}}=\frac{3-0}{1-0}=3[/tex]
Хоризонталната асимптота е [tex]y=3[/tex].
За наклонените асимптоти изразът след лимис ще има вида [tex]k=k=\lim_{x \to \infty}\frac{3x-2}{x(x-1)}[/tex]. Изразът има знаменател от по-висока степен от тази на числителя, следователно границата е нула. Следователно нямаме наклонени асимптоти.

[tex][/tex]

20230611_001.png (21.93 KiB) Прегледано 3911 пъти

[tex][/tex]
Надявам се горното да Ви е от полза.