Задача от Училищен курс по анализ.

[seppen]

Да се докаже:
[tex](x+1) \cos{\frac{\pi}{2(x+1)}}-x \cos{\frac{\pi}{2x}} > 1\\x\ge1[/tex]
Не съм я мислила, но ми се стори интересна.

[ganka simeonova]

С няколко трика и две подзадачи мисля, че ще стане.
Да разгледаме функциите [tex]f(t)=cost+tsint[/tex] и [tex]g(x)=xcos\frac{\pi }{2x }[/tex]

1) Да намерим НГС и НМС на f(t) в [tex][0; \frac{\pi }{ 2}][/tex]

[tex]f'(t)=tcost\ge 0=>f(t)[/tex] е растяща в посочения интервал.=>[tex]f(t)>f(0)=>f(t)>1[/tex]

2)[tex]g'(x)=cos{\frac{\pi }{2x }} +\frac{\pi }{ 2x} sin{\frac{\pi }{ 2x}} ; \frac{\pi }{2x } =t=>f(t)=g'(x)[/tex]

Когато [tex]x\ge 1 <=>t\in[0; \frac{\pi }{ 2}][/tex]
От 1)=>[tex]g'(x)>1; x\ge 2[/tex]

3) Разглеждаме ф-та [tex]p(x)=g(x)-x; x\ge 1[/tex]
[tex]p'(x)=g(x)-1>0[/tex] => [tex]p(x)[/tex] е растяща за [tex]x\ge 1[/tex]=>

[tex]p(x+1)>p(x)=>g(x+1)-(x+1)>g(x)-x=>g(x+1)-g(x)>1[/tex]

[seppen]

Дано да Ви е харасала задачката. Докопах я от някакво помагало за "Училищен курс по анализ", "Математика и информатика". Има и други, но са по-лесни.

[ganka simeonova]

Пусни ги. И без това трябва да си набавям задачи за 12 клас

[ferry2]

А по друг начин не може ли да се реши задачата? Честно казано това решение не го разбирам. Как да се сетя, че трябва да разгледам тези функции?

[seppen]

[tex]f(x)=(x+1)\cos{\frac{\pi}{2(x+1)}}-x\cos{\frac{\pi}{2x}}[/tex]

[tex]f'(x)=\cos \frac{\pi}{2(x+1)}+\frac{\pi}{2(x+1)}\sin{\frac{\pi}{2(x+1)}}-(\cos{\frac{\pi}{2x}}+\frac{\pi}{2x}\sin{\frac{\pi}{2x}})=g(x+1)-g(x)[/tex]

[tex]g(x)=\cos{\frac{\pi}{2x}}+\frac{\pi}{2x}\sin{\frac{\pi}{2x}}[/tex]
Намираме, че g(x) е намаляваща в посочения интервал.(с производната)
[tex]g(x+1)<g(x)[/tex]
[tex]g(x+1)-g(x)<0[/tex]-f(x) е намаляваща в интервала и най-малката стойност е при безкрайност. Търсим границата, получава се 1.

Двете са доста сходни, де.

[ferry2]

Така е малко по-разбираемо. Мерси.