Непрекъснатост

[Гост]

Да се определят точките на прекъсване на функцията [tex]f(x)=\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-9}[/tex]. Може ли функцията да се додефинира така, че да бъде непрекъсната в тези точки?

[ammornil]

Да се определят точките на прекъсване на функцията [tex]f(x)=\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-9}[/tex]. Може ли функцията да се додефинира така, че да бъде непрекъсната в тези точки?

според мен...

[tex]\text{ДМ}\hspace{2em} x \ne \pm 3 \Rightarrow x \in (-\infty;-3) \cup (-3;3) \cup (3; +\infty)[/tex]
[tex]x^{2}-2x-3 \rightarrow x_{1,2}=\frac{1\pm 2}{1} \rightarrow \begin{cases} x_{1}=-1 \\ x_{2}=3 \end{cases}[/tex]

[tex]\lim_{x \to -3-0}{\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-9}}=\lim_{x \to -3-0}{\frac{(x+1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}=\lim_{x \to -3-0}{\frac{x+1}{x+3}}=\cdots =+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \to -3+0}{\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-9}}=\lim_{x \to -3+0}{\frac{(x+1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}=\lim_{x \to -3+0}{\frac{x+1}{x+3}}=\cdots =-\infty[/tex]
Границите не съвпадат, следователно не може да се премахне прекъснатостта чрез допълване на дефиницията на функцията в точката [tex]x=-3[/tex].

[tex]\lim_{x \to 3-0}{\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-9}}=\lim_{x \to 3-0}{\frac{(x+1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}=\lim_{x \to 3-0}{\frac{x+1}{x+3}}=\cdots =\frac{2}{3}[/tex]
[tex]\lim_{x \to 3+0}{\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-9}}=\lim_{x \to 3+0}{\frac{(x+1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}=\lim_{x \to 3+0}{\frac{x+1}{x+3}}=\cdots =\frac{2}{3}[/tex]
Вижда се, че понеже границите съвпадат, прекъснатостта може да се премахне за [tex]x=3 \rightarrow f(x)= \begin{cases} \frac{\normalsize{x^{2}-2x-3}}{\normalsize{x^{2}-9}}, x \in (-\infty; -3) \cup (-3,3) \cup (3; +\infty) \\ \frac{2}{3}, x=3 \end{cases}[/tex]

[ptj]

Функцията не е дефинирана единствено в точката -3. Тя е точка на прекъсване от втори род.