Интервали на монотонност и локални екстремуми

[Гост]

Намерете интервалите на монотонност на функцията и локалните екстремуми:
f(x)=[tex]x^{5 }[/tex]+2[tex]x^{3 }[/tex]+2x+3

[ammornil]

Скрит текст: покажи

Локален екстремум е точка от графиката на функцията в която се променя характерът на изменение на функцията. Ако функцията намалява в ляво от екстремума и расте в дясно от екстремума, то екстремумът е локален максимум. Ако функцията расте в ляво от екстремума и намалява в дясно от екстремума, то екстремумът е ликален максимум.
Условията една функция да има локален екстремум в даден интервал са: (1) да е непрекъсната в интервала на разглеждане; (2) първата ѝ произоводна да съществува и (3) за стойност на променливата в интервала на разглеждане първата ѝ производна да е равна на нула.
Природата на екстремума може да се определи по няколко начина. Най-общият начин е да се намери втората производна на функцията и да се пресметне стойността ѝ за точките, където първата производна е нула. Ако втората производна е положителна, функцията има минимум в тази точка. Ако втората производна е отрицателна, функцията има максимум в тази точка. Ако втората произодна е нула, то точката се нарича "инфлексна" и представлява промяна в характера на графиката, но не е локален екстремум.

[tex]f(x)=x^{5}+2x^{3}+2x+3 \\ \text{ДМ}: \forall x \in \mathbb{R} \\ f'(x)=5x^{4}+6x^{2}+2 \\ f''(x)=20x^{3}+12x \\ f'(x)=0 \rightarrow t=x^{2} \rightarrow 5t^{2}+6t +2=0 \rightarrow D<0 \Rightarrow \nexists t \in \mathbb{R} \Rightarrow \text{няма локални екстремуми} \\ f''(x)=0 \rightarrow 4x(5x^{2}+3)=0 \rightarrow x=0 \Rightarrow f(0)=3 \Rightarrow \text{ една инфлексна точка } \rightarrow A(0; 3) \\ \lim_{x \to -\infty}{(x^{5}+2x^{3}+2x+3)}=-\infty \\ \lim_{x \to+\infty}{(x^{5}+2x^{3}+2x+3)}=+\infty \\[/tex]

Screenshot 2023-10-19 184233.png (22.18 KiB) Прегледано 1342 пъти

[tex][/tex]