неравенство, функция

[seppen]

[tex]f(x)[/tex] е диференцируема в [0;2].
[tex]f(0)=f(2)=1[/tex]
[tex]|f'(x)|\le 2x+1[/tex] в целия интервал [0;2]

Да се докаже, че в [0;2]:
[tex]|f(x)-1|\le x^2+x[/tex]
[tex]|f(x)-1|\le6-x-x^2[/tex]

Тази е по-яка от предната.

[martin123456]

От неравенството в условието имаме [tex]-2x-1 \le f'(x) \le 2x+1[/tex]. Да разгледаме [tex]g_1(x)=f(x)-x^2-x[/tex] и [tex]g_2(x)=f(x)+x^2+1[/tex]. Имаме [tex]g_1'(x)=f'(x)-2x-1 \le 0[/tex] и [tex]g_2'(x)=f'(x)+2x+1 \ge 0[/tex]. [tex]\Rightarrow g_1(x) \downarrow[/tex] и [tex]g_2(x) \uparrow[/tex] [tex]\Rightarrow g_1(x) \in [g_1(2),g_1(1)] \Leftrightarrow g_1(x) \in [-5,1][/tex] и [tex]g_2(x) \in [g_2(0),g_2(2)] \Leftrightarrow g_2(x) \in [2, 6][/tex].
За [tex]f(x)[/tex] това означава [tex]f(x) \in [x^2+x-5, x^2+x+1][/tex] и [tex]f(x) \in [2-x^2-x, 6-x^2-x][/tex]. За [tex]f(x)-1[/tex] получаваме [tex]f(x)-1 \in [x^2+x-6, x^2+x][/tex] и [tex]f(x)-1 \in [1-x^2-x, 5-x^2-x][/tex].
За 1вото неравенство: [tex]f(x)-1 \le x^2+x[/tex] и [tex]f(x)-1 \ge 1-x^2-x \ge -x^2-x[/tex]. Ок.
За 2рото неравенство: [tex]f(x)-1 \le 5-x^2-x \le 6-x^2-x[/tex] и [tex]f(x)-1 \ge x^2+x-6[/tex]. Ок.

[seppen]

Да, това е.
Аз го решавах като проверявах дали
[tex]f(x)-1-x-x^2 \le 0\\f(x)-1+x+x^2 \ge 0[/tex]
са изпълнени в [0;2] при дадените условия.
После и другата система(от второто неравенство).

Ще напиша б), за да се пробва и някой друг.
Да се докаже, че в [0;2]:
[tex]|f(x)-1|<3[/tex]

[seppen]

Айде, де. Само martin123456 ли се сеща как ще стане.
Да давам жокери?

[ganka simeonova]

Айде, де. Само martin123456 ли се сеща как ще стане.
Да давам жокери?

Стига де:)
Само трябва да съберем двете вече доказани неравенства:)

[seppen]

За да Ви провокирам да го напишете.