функция

[Гост]

За кои стойности на параметъра a ∈ (0;8) лицето на правоъгълника, образуван от хоризонталната и вертикалната асимптота на функцията [tex]f(x) = \frac{(8-a)x-2}{x-a}[/tex], е най-голямо?

[ammornil]

За кои стойности на параметъра a ∈ (0;8) лицето на правоъгълника, образуван от хоризонталната и вертикалната асимптота на функцията [tex]f(x) = \frac{(8-a)x-2}{x-a}[/tex], е най-голямо?

Предложеното решение е за лицето на правоъгълника, определен от координатните оси и хоризонталната и ветикалната асимптота на дадената функция. Двете асимптоти определят точно един прав ъгъл с връх пресечната им точка.
[tex]\begin{aligned} f(x)=\frac{(8-a)x-2}{x-a}, \hspace{2em} a \in (0;8) \\ & & & \text{ДМ: } x\ne a \Rightarrow \text{ вертикална асимптотa: } x=a \\ & & & \lim_{x\to \pm\infty}{f(x)}= \lim_{x\to \pm\infty}\frac{x\left(8-a-\frac{\normalsize{2}}{\normalsize{x}} \right)}{x\left(1-\frac{\normalsize{a}}{\normalsize{x}} \right)}= \lim_{x\to \pm\infty}\frac{8-a-\frac{\normalsize{2}}{\normalsize{x}}}{1-\frac{\normalsize{a}}{\normalsize{x}}}=\cdots =8-a \Rightarrow \text{ хоризонтална асимптотa: } y=8-a \end{aligned}[/tex][tex]\\ S(a)=a\cdot(8-a) \\ S'(a)=1\cdot(8-a)+a\cdot(-1)=8-2a \rightarrow S'(a)=0 \Rightarrow a=4 \in (0;8) \\ S''(a)=-2 < 0 \hspace{1em} \forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow S(4)=S_{max}[/tex]$$ S(a)_{max} \Rightarrow a=4 $$