Граница на функция

[Гост]

Здравейте, можете ли да помогнете за тези две задачи

1) [tex]\lim_{x \to \infty } \frac{-32+16-8+4-...}{х+ \frac{х}{2} + \frac{х}{4} +... }[/tex]
Отговор:0

2) [tex]\lim_{x \to 1} \frac{15 x^{2 } - 5 x^{2 } + \frac{5}{3} x^{2 } -...}{ x^{2 } + x^{2 } + 3 + x^{2 } + x^{2 } + 6 +...+ x^{2 } +300}[/tex]
Отговор:[tex]\frac{45}{61004}[/tex]

[ammornil]

Здравейте, можете ли да помогнете за тези две задачи

1) [tex]\lim_{x \to \infty } \frac{-32+16-8+4-...}{х+ \frac{х}{2} + \frac{х}{4} +... }[/tex]
Отговор:0

2) [tex]\lim_{x \to 1} \frac{15 x^{2 } - 5 x^{2 } + \frac{5}{3} x^{2 } -...}{ x^{2 } + x^{2 } + 3 + x^{2 } + x^{2 } + 6 +...+ x^{2 } +300}[/tex]
Отговор:[tex]\frac{45}{61004}[/tex]

[tex]\lim_{x \to \infty}{\frac{-32+16-8+4-...}{x+ \frac{x}{2} + \frac{x}{4} +... }}=\lim_{x \to \infty}{\frac{-32+16-8+4-...}{x\left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +...\right) }}=\overbrace{\lim_{x \to \infty}{\frac{1}{x}}}^{=0}\cdot{}\underbrace{\lim_{x \to \infty}{\frac{-32+16-8+4-...}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +... }}}_{=\text{константа}}=\cdots=0[/tex]

[tex]k\in \mathbb{N_{0}}, \rightarrow \lim_{x \to 1}{\frac{x^{2}\left((-1)^{0}\cdot{}\frac{15}{3^{0}}+(-1)^{1}\cdot{}\frac{15}{3^{1}}+(-1)^{2}\cdot{}\frac{15}{3^{2}}+\cdots +(-1)^{k}\cdot{}\frac{15}{3^{k}} +\cdots\right)}{2x^{2}+3 + 2x^{2}+3+1\cdot{3}+\cdots+2x^{2}+3+99\cdot{3}}}[/tex]
Числителят в скобите е безкрайна геометрична прогресия с първи член [tex]a_{1}=15[/tex] и частно [tex]q=-\frac{1}{3}[/tex], сумата е [tex]S_{n}=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{45}{4}[/tex].
В знаменател имаме крайна аритметична прогресия с първи член [tex]a_{1}=2x^{2}+3, x\to{1} \Rightarrow 2x^{2}+3\to{5}[/tex], разлика [tex]d=3[/tex] и брой на членовете [tex]n=100 \Rightarrow S_{100}=\frac{2\cdot{}a_{1}+(n-1)\cdot{d}}{2}\cdot{n}=15350[/tex]

[tex]\lim_{x \to 1}{\frac{x^{2}\left((-1)^{0}\cdot{}\frac{15}{3^{0}}+(-1)^{1}\cdot{}\frac{15}{3^{1}}+(-1)^{2}\cdot{}\frac{15}{3^{2}}+\cdots +(-1)^{k}\cdot{}\frac{15}{3^{k}} +\cdots\right)}{2x^{2}+3 + 2x^{2}+3+1\cdot{3}+\cdots+2x^{2}+3+99\cdot{3}}}=\cdots=\frac{1\cdot{}\frac{45}{4}}{15350}=\frac{45}{61400}[/tex]

[Гост]

Благодаря, защо в знаменателя на втората задача общия брой на членовете е 100, а не 101? Моято логика е 2[tex]x^{2 }[/tex] + 3+.....+2[tex]x^{2 }[/tex] + 3.100. Очевидно тази логика е грешна, но не разбирам защо.

[ammornil]

Благодаря, защо в знаменателя на втората задача общия брой на членовете е 100, а не 101? Моято логика е 2[tex]x^{2 }[/tex] + 3+.....+2[tex]x^{2 }[/tex] + 3.100. Очевидно тази логика е грешна, но не разбирам защо.

Първият член не може да е равен на нещо плюс разликата. Затова първият член е [tex]2x^{2}+3[/tex], вторият е [tex](2x^{2}+3)+(2-1)\cdot{3}[/tex], третият е [tex](2x^{2}+3)+(3-1)\cdot{3}[/tex], и така нататък като последният член е [tex](2x^{2}+3)+(100-1)\cdot{3}=a_{1}+(n-1)\cdot{d}[/tex], откъдето се вижда, че [tex]n=100[/tex].
Друг начин да определите броя на членовете е чрез първия член [tex]2x^{2}+3[/tex], последния член [tex]2x^{2}+300[/tex] и разликата [tex]3[/tex]:
[tex]a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot{d} \Rightarrow 2x^{2}+300=2x^{2}+3+(n-1)\cdot{3} \Leftrightarrow 3(n-1)=297 \Leftrightarrow n-1=99 \Leftrightarrow n=100[/tex]