Диференциране

[Гост]

Здравейте, имам да диференцирам следната функция: arccos(2x-1/корен3). Някой може ли да ме насочи какво трябва да се случи, благодаря!

[ammornil]

Здравейте, имам да диференцирам следната функция: arccos(2x-1/корен3). Някой може ли да ме насочи какво трябва да се случи, благодаря!

[tex]\\ \arccos{\varphi} \Rightarrow -1\le{\varphi}\le{1} \Rightarrow \begin{array}{|l} \frac{2x-1}{\sqrt{3}}\ge{-1} \\ \frac{2x-1}{\sqrt{3}}\le{1} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2x -1 \ge{} -\sqrt{3} \\ 2x-1 \le{} \sqrt{3} \end{array} \Rightarrow \exists{\theta} \rightarrow 2x-1=\sqrt{3}\cdot{}\sin{\theta} \\ \quad \\ I=\int{\arccos{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}dx}=x\arccos{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}-\underbrace{\int{xd\arccos{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}}}_{I_{1}} \\ \quad I_{1}=\int{x\cdot{}\left(\arccos{\frac{2x-1}{\sqrt{3}}}\right)'dx}=\int{x\cdot{\left(-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}}\cdot{}\frac{2}{\sqrt{3}} \right)dx}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot{}\underbrace{\int{\frac{x}{\sqrt{1-\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}}dx}}_{I_{2}} \\ \quad I_{2}=\int{\frac{x}{\sqrt{1-\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}}dx} \\ \quad \quad 2x-1=\sqrt{3}\sin{\theta} \Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta}+\frac{1}{2} \Rightarrow dx=d\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta}+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\cos{\theta}d\theta \\ \quad \quad \sin{\theta}=\frac{2x-1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \csc{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2x-1} \\ \quad I_{2}=\int{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta}+\frac{1}{2}}{\sqrt{1-\left(\sin{\theta}\right)^{2}}}\sqrt{3}\cos{\theta}d\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot{}\int{\frac{\sqrt{3}\sin{\theta}+1}{\cos\theta}\cdot{}\cos{\theta}d\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot{}\int{\left(\sqrt{3}\sin{\theta}+1\right)d\theta}=\frac{3}{2}\int{\sin{\theta}d\theta}+\frac{\sqrt{3}}{2}\int{1d\theta}[/tex]

Оставям на Вас да довършите, защото ми свършва почивката. Намираме [tex]I_{2}[/tex] изразено чрез тета, връщаме обратното полагане за да получим израз за [tex]I_{2}[/tex] чрез хикс, оттам връщаме в [tex]I_{1}[/tex] и после за [tex]I[/tex]. Това е според мен идеята, проверете за грешки при разлаганията и пренасянията, защото работих в LATEX и е доста вероятно да съм сбъркал някъде между редовете...

[Гост]

Тази функция е от вида "функция от функция". $f(x)=\varphi(\psi(x))$, където $\varphi(u)=arccos(u)$, a $\psi(x)=$ на това, което е в скобите, предполагам: $\psi(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

За такъв вид функции производната е $f'(x)=\varphi'(\psi(x)).\psi'(x)$, т.е. - "производната на външната функция с аргумент - вътрешната функция, умножена по производната на вътрешната функция.

В този случай производните са: $\varphi'(u)=arccos(u)'_u=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$, където $u=\psi(x)$ и $\psi'(x)=\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)'_x=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)'_x=\frac{2}{\sqrt{3}}$

И окончателно: $f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{\sqrt{2+4x-4x^2}}$

[Гост]

Много благодаря за изчерпателния Ви отговор!

[ammornil]

Извинете, не знам защо съм го видял като интегриране...

[Гост]

Извинете, не знам защо съм го видял като интегриране...

То не е ли едно и също?

[Гост]

Извинете, не знам защо съм го видял като интегриране...

Ще предположа, че не е това решението тогава , благодаря все пак.

[ammornil]

Извинете, не знам защо съм го видял като интегриране...

То не е ли едно и също?

Не, не е едно и също.

Диференцеиране е намиране на производната, когато знаем формата на примитивната функция. Първите производни на функции, които се различават помежду си с константа, са равни.

Интегриране е намиране на примитивната функция по дадена форма на първата ѝ производна. По дадена първа производна, интегралът дава семейство примитивни функции, които се различават помежду си с константа.

В известен смисъл, двете операции са взаимно обратими.

[Гост]

Тази функция е от вида "функция от функция". $f(x)=\varphi(\psi(x))$, където $\varphi(u)=arccos(u)$, a $\psi(x)=$ на това, което е в скобите, предполагам: $\psi(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

За такъв вид функции производната е $f'(x)=\varphi'(\psi(x)).\psi'(x)$, т.е. - "производната на външната функция с аргумент - вътрешната функция, умножена по производната на вътрешната функция.

В този случай производните са: $\varphi'(u)=arccos(u)'_u=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$, където $u=\psi(x)$ и $\psi'(x)=\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)'_x=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)'_x=\frac{2}{\sqrt{3}}$

И окончателно: $f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{\sqrt{2+4x-4x^2}}$

Благодаря много!

[Гост]

Тази функция е от вида "функция от функция". $f(x)=\varphi(\psi(x))$, където $\varphi(u)=arccos(u)$, a $\psi(x)=$ на това, което е в скобите, предполагам: $\psi(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

За такъв вид функции производната е $f'(x)=\varphi'(\psi(x)).\psi'(x)$, т.е. - "производната на външната функция с аргумент - вътрешната функция, умножена по производната на вътрешната функция.

В този случай производните са: $\varphi'(u)=arccos(u)'_u=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$, където $u=\psi(x)$ и $\psi'(x)=\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)'_x=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)'_x=\frac{2}{\sqrt{3}}$

И окончателно: $f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{\sqrt{2+4x-4x^2}}$

В окончателния отговор знаменателя се различавата. Там е корен1+2x-2x^2, поне така е дадено в учебника, но не можах да намеря грешка във вашето обяснение. Дали има грешка в учебника?

[grav]

В окончателния отговор знаменателя се различавата. Там е корен1+2x-2x^2, поне така е дадено в учебника, но не можах да намеря грешка във вашето обяснение. Дали има грешка в учебника?

Как точно е в учебника? Защото

[tex]-\frac{2}{\sqrt{2+4x-4x^2}}=-\frac{\sqrt2}{\sqrt{1+2x-2x^2}}[/tex]

[Гост]

Моя грешка, извинявам се