Уравнение на допирателна към графика

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача?

Напишете уравнението на допирателната права към графиката на функцията у = [tex]\sqrt{1-6x}[/tex], която отсича от положителните части на осите Ох и Оу равни отсечки

[ammornil]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача?

Напишете уравнението на допирателната права към графиката на функцията у = [tex]\sqrt{1-6x}[/tex], която отсича от положителните части на осите Ох и Оу равни отсечки

[tex]\\\text{ДМ}:\quad 1-6x\ge{}0 \Rightarrow x\le{}\frac{1}{6}[/tex]
За да отсича от положителните части на координатните оси равни отсечки, правата трябва да сключва с абсцисата ъгъл от [tex]135^{\circ}[/tex], следователно уравнението на допирателната има вида [tex]p: y=-x+c[/tex], където [tex]c[/tex] е отрезът, който правата отсича от началото на координатната система до пресечната си точка с ординатата (а в този и случай и от началото на координатната система до пресечната си точка с абсцисата). Оттук следва, че за точката [tex]A(x_{0};y_{0})[/tex] в която се допира до графиката на функцията, е изпълнено [tex]f'(x_{0})=-1 \Rightarrow \frac{-6}{2\sqrt{1-6x}}=-1 \\ \frac{3}{\sqrt{1-6x}}=1 \Leftrightarrow (3)^{2}=1-6x \Leftrightarrow 6x=-8 \Rightarrow x_{0}=-\frac{4}{3} \in{}\text{ДМ} \\ \quad \Rightarrow y_{0}=\sqrt{1-6x_{0}}=\sqrt{9}=3 \\ A\left(-\frac{4}{3};3\right)\in{p} \Rightarrow 3=-\left(-\frac{4}{3}\right)+c \Rightarrow c=3-\frac{4}{3} \\[/tex]$$ p: \quad y=-x+1\frac{2}{3} \quad \Leftrightarrow \quad 3y+3x-5=0 $$

Проверете сметките за изчислителни грешки.

[peyo]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача?

Напишете уравнението на допирателната права към графиката на функцията у = [tex]\sqrt{1-6x}[/tex], която отсича от положителните части на осите Ох и Оу равни отсечки

Да се опитаме да решим задачата без да диферинцираме. Търсената права, както спомена ammornil е от вида:
[tex]y=-x+c[/tex]

Понякога допирателните пресичат кривите в точно една точка. Ако имаме късмет това е и нашия случай тук и тогава търсим това $c$ където системата има само едно решение:

[tex]\begin{array}{|l} у = \sqrt{1-6x} \\y=-x+c \end{array}[/tex]

$\sqrt{1-6x} = -x+c$
$1-6x = x^2 -2xc + c^2$
$x^2 -2xc +6x + c^2 -1 = 0$
$x^2 -(2c -6)x + c^2 -1 = 0$

In [68]: var("x,c")
Out[68]: (x, c)

In [70]: print(latex(solve(x**2 -(2*c -6)*x + c**2 -1, x)))
$\left[ c - \sqrt{10 - 6 c} - 3, \ c + \sqrt{10 - 6 c} - 3\right]$

Ok, тези двете трябва да са еднакви:

In [71]: sx = solve(x**2 -(2*c -6)*x + c**2 -1, x)

In [72]: solve(sx[0] - sx[1])
Out[72]: [5/3]

Отговор:
[tex]y=-x+5/3[/tex]

Което изглежда вярно. Да го нарисуваме:
In [74]: plot( sqrt(1-6*x), -x+5/3, (x,-3,3))
Out[74]: <sympy.plotting.backends.matplotlibbackend.matplotlib.MatplotlibBackend at 0x16605a64800>

Screenshot 2024-10-01 222628.jpg (23.85 KiB) Прегледано 359 пъти

[ammornil]

Понякога допирателните пресичат кривите в точно една точка. Ако имаме късмет това е и нашия случай тук и тогава търсим това $c$ където системата има само едно решение:

[tex]\text{Допирателната винаги има само една обща точка с графиката на функцията.}[/tex]

[peyo]

Понякога допирателните пресичат кривите в точно една точка. Ако имаме късмет това е и нашия случай тук и тогава търсим това $c$ където системата има само едно решение:

[tex]\text{Допирателната винаги има само една обща точка с графиката на функцията.}[/tex]

Локално да, но глобално правата може да пресече кривата някъде другаде и тогава системата ще ги даде като решения.