Монотонност и локални екстремуми

[Гост]

Да се изследва функцията за монотонност и локални екстремуми

[tex]y = \frac{x^{3 } }{ x^{2 } - 2 }[/tex]

[ammornil]

Да се изследва функцията за монотонност и локални екстремуми

[tex]y = \frac{x^{3 } }{ x^{2 } - 2 }[/tex]

$\\[12pt] y=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-2}, \\[6pt] \quad \text{Д}x: \quad x^{2}-2\ne{0} \Leftrightarrow (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\ne{0} \Rightarrow x\in{(-\infty;-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2};\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)}\\[6pt]y'=\dfrac{3x^{2}(x^{2}-2)-x^{3}\cdot{2x}}{(x^{2}-2)^{2}}= \dfrac{3x^{4}-6x^{2}-2x^{4}}{(x^{2}-2)^{2}}= \dfrac{x^{2}(x^{2}-6)}{(x^{2}-2)^{2}} \\[6pt] \because{\exists{y_{extr}}} \Rightarrow y'=0 \Rightarrow x_{1'}=x_{2'}=0 \quad \cup \quad x_{3'}=-\sqrt{6} \quad \cup \quad x_{4'}= \sqrt{6}\\[6pt]$Изследване за монотонност (растене и намаляване) се прави чрез знака на първата производна. Когато $y'<0$ функцията намалява, а когато $y'>0$ функцията расте. $\\[12pt]$От промените в знака на първата производна можем да определим и характера на екстремумите: ако от двете страни на точка, в която първата производна е нула, и функцията променя характера си на изменение (от двете страни на точката първата производна има различни знаци), ако знакът на първата производна се променя от плюс в минус, значи имаме максимум, а ако се променя от минус в плюс значи имаме минимум. Ако от двете страни на точка, в която първата производна е нула, знакът на първата производна е еднакъв, това е инфлексна точка- функцията сменя знака си но не променя характера си на изменение.$\\[12pt]$В нашия случай, знаменателят на първата производна е винаги положителен (освен в точките на прекъсване), което значи че знакът на първата производна във всеки интервал съвпада със знака на числителя ѝ, който се определя от знака на израза $(x^{2}-6)$.$\\[12pt]$ $$ \begin{array}{|l|ccccccccccccc|} \hline \quad&-\infty&\quad & -\sqrt{6} &\quad &-\sqrt{2} &\quad &0 & \quad &\sqrt{2} &\quad & \sqrt{6} & \quad &+\infty \\[6pt]\hline y'&& + &&-&\tiny{\text{прекъсване}}&-& &-&\tiny{\text{прекъсване}}&-& &+ \\[6pt]\hline \scriptsize{\text{характер }}\normalsize{y}&& \scriptsize{\text{расте}} && \scriptsize{\text{намалява}} &\tiny{\text{прекъсване}} &\scriptsize{\text{намалява}} &&\scriptsize{\text{намалява}} &\tiny{\text{прекъсване}} &\scriptsize{\text{намалява}}&&\scriptsize{\text{расте}} \\[6pt]\hline \scriptsize{\text{критични точки}}&&&MAX&&&&\scriptsize{\text{инфлексна}}&&&&MIN \\[2pt]\hline \end{array} $$ $\\[12pt]$Ако се искат и темповете (бързо/ бавно) трябва да се разгледа и знака на втората производна. В случая не е дадено в условието.