Проблем при решаването на курсова задача!

[pemilia]

Да се изследва функцията: y= ln x+[tex]\frac{3}{2}[/tex][tex]x^2[/tex]-4x+4, като се определят:
а)дефиниционната област
б)асимптомите на функцията, ако има такива
в)екстремумите на функцията
г)инфлексни точки /ако има/
д)да се построи графика на функцията в интервала x [tex]\in[/tex][0;2]
В учебника, който са ми дали е толкова накратно обяснено, че нищо не мога да разбера.
Предварително благодаря за съдействието от Ваша страна!

[martin123456]

a) [tex]\ln{x}[/tex] има ДО и тя е [tex]x>0[/tex]. Всичко друго е дефинирано. Окончателно [tex]x>0[/tex].
b)
[tex]\circ[/tex]: търсим вертикална асимптота: трябва на число [tex]a[/tex], че [tex]\lim_{x \to a}y=\pm \infty[/tex], където клоненето към [tex]a[/tex] е отляво/отдясно. Сещаме се че това може да е [tex]a=0[/tex]. Проверяваме [tex]\lim_{x \to 0^+}y=-\infty \Rightarrow[/tex] имаме вертикална асимптота с уравнение [tex]x=0[/tex].
[tex]\circ[/tex]: търсим хоризонтална асимптота. Проверяваме [tex]\lim_{x \to +\infty}y[/tex], понеже няма смисъл да проверяваме в минус безкрайност (не е дефинирана функцията). Имаме [tex]\lim_{x \to +\infty}y=+\infty \Rightarrow[/tex] нямаме хоризонтална асимптота.
[tex]\circ[/tex]: наклонена асимптота: Интересува ни [tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln{x}+\frac{3x^2}{2}-4x+4}{x}=\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln{x}}{x}+\lim_{x \to +\infty}\frac{3x}{2}-4+\lim_{x \to +\infty}\frac{4}{x}=[/tex][tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln{x}}{x}+\infty-4+\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln{x}}{x}+\infty[/tex]. Остана да намерим само [tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln{x}}{x}[/tex]. Тъй като числителят расте по-бавно от знаменателят, то границата е 0. Оконачателно [tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{y}{x}=+\infty[/tex]. Значи нямаме наклонена асимптота.
в) [tex]f(x)=\ln{ x}+\frac{3}{2}x^2-4x+4 \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}+3x-4=\frac{1+3x^2-4x}{x}=\frac{(x-1)(x-\frac{1}{3})}{x}[/tex]. Значи производната се анулира в [tex]x_0=1[/tex] и [tex]x_1=\frac{1}{3}[/tex]. Tъй като [tex]x \in (0,\frac{1}{3})\cup(1,+\infty)[/tex]: [tex]f'(x)>0[/tex] и за [tex]x\in (\frac{1}{3},1)[/tex]: [tex]f'(x)<0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_0[/tex] е локален минимум, а [tex]x_1[/tex] е локален максимум.
г) инфлексни точки: [tex]f''(x)=\frac{(6x-4)x-(3x^2-4x+1)}{x^2}=\frac{3x^2-1}{x^2}[/tex]. Значи инфлексни точки в [tex]x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}[/tex].