Първа производна на функция

[gvv]

Здравейте. Може ли да ми помогнете при намирането на първата производна на функцията:
[tex]y=(x^{3}-1)^4/(x^{2}+1)^3[/tex]

[ptj]

Няма нищо сложно.

Първо тръгваш от частното и използваш [tex](\frac{f(x)}{g(x)} )'=\frac{f'(x)g(h)+f(x)g'(x)}{g^2(x) }[/tex]. Като [tex]f(x)=(x^{3}-1)^4[/tex], a [tex]g(x)=(x^2+1)^3[/tex].

След това ще имаш изрази подобни на следващия [tex]((x^{3}-1)^4)'[/tex].
Те се решават с формулата [tex](y^n)'=n.y^{(n-1)}.y'[/tex], където [tex]y'=(x^3-1)'[/tex],
т.е. [tex]((x^{3}-1)^4)'=4(x^{3}-1)^3(x^3-1)'[/tex].

Накрая ще останат само като [tex]y'=(x^3-1)'=(x^3)'-(1)'=3x^2-0=3x^2[/tex].

Опитай сам. Има малко повече писане, но веднъж успееш ли, по-късно няма да имаш проблеми.

П.П. Просто тръгваш отвън навътре и изпозваш формулите.

[martin.nikolov]

Друг вариан е логаритмично диференциране или там както му е името.

[ganka simeonova]

Друг вариан е логаритмично диференциране или там както му е името.

Няма смисъл. Това си е най- обикновена функия- частно.

[Martin Nikovski]

[tex]y=\frac{\left(x^3-1\right)^4}{\left(x^2+1\right)^3 }[/tex]
Използваме теоремата за производна от частно:
[tex]\blue{\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right) }\right)'=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{g^2\left(x\right) }[/tex]
[tex]y'=\frac{\left(\left(x^3-1\right)^4\right)'\left(x^2+1\right)^3-\left(x^3-1\right)^4\left(\left(x^2+1\right)^3\right)'}{\left(\left(x^2+1\right)^3\right)^2 }[/tex]
Използваме теоремата за производна на сложна функция:
[tex]\blue{f'\left(g\left(x\right)\right)=f'\left(g\left(x\right)\right).g'\left(x\right)[/tex]
[tex]\left(\left(x^3-1\right)^4\right)'=\left(\left(x^3-1\right)^4\right)'.\left(x^3-1\right)'=4\left(x^3-1\right)^3.3x^2=12x^2\left(x^3-1\right)^3[/tex]
[tex]\left(\left(x^2+1\right)^3\right)'=\left(\left(x^2+1\right)^3\right)'.\left(x^2+1\right)'=3\left(x^2+1\right)^2.2x=6x\left(x^2+1\right)^2[/tex]
[tex]y'=\frac{12x^2\left(x^3-1\right)^3\left(x^2+1\right)^3-\left(x^3-1\right)^4.6x\left(x^2+1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^6 }[/tex]
[tex]y'=\frac{6x\left(x^3-1\right)^3\left(x^2+1\right)^2\left(2x\left(x^2+1\right)-\left(x^3-1\right)\right)}{\left(x^2+1\right)^6}[/tex]
[tex]y'=\frac{6x\left(x^3-1\right)^3\left(2x^3+2x-x^3+1\right)}{\left(x^2+1\right)^4 }[/tex]
[tex]y'=\frac{6x\left(x^3-1\right)^3\left(x^3+2x+1\right)}{\left(x^2+1\right)^4 }[/tex]

[martin.nikolov]

Друг вариан е логаритмично диференциране или там както му е името.

Няма смисъл. Това си е най- обикновена функия- частно.

Разбира се, то винаги може да бъде избгнато. Но дава различен начин, може би с малко по-малко сметки.

[mkmarinov]

[tex]lny=ln(\frac{(x^3-1)^4}{(x^2+1)^3})=4ln(x^3-1)-3ln(x^2+1) / \frac{d}{dx}[/tex]
[tex]\frac{y'}{y}=\frac{12x^2}{x^3-1}-\frac{6x}{x^2+1}[/tex]
Умножават се двете страни по у и отговорът излиза. Доста полезен метод, особено при дълги произведения с разнородни степени.

[prodanov]

[tex]lny=ln(\frac{(x^3-1)^4}{(x^2+1)^3})=[/tex][tex]\red{4ln(x^3-1)-3ln(x^2+1) / \frac{d}{dx}}[/tex]
[tex]\frac{y'}{y}=\frac{12x^2}{x^3-1}-\frac{6x}{x^2+1}[/tex]
Умножават се двете страни по у и отговорът излиза. Доста полезен метод, особено при дълги произведения с разнородни степени.

Това въобще не го разбрах, а ми се вижда далеч по-добра алтернатива. Би ли обяснил следните неща:
1) Какво е [tex]\frac{d}{dx}[/tex]? В учебника [tex]f'(x)[/tex] пише че се отбелязва като [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]. Без грам повече обяснение за това обозначение.
2) Защо делиш на [tex]\frac{d}{dx}[/tex]? Червената част от цитата, числителя го разбирам, но защо делиш на това, което не разбирам какво е(първи въпрос)?
3) Как се получава втория ред?

[martin.nikolov]

Не дели, това което е написал има смисъл на "диференцираме двете страни на равенстовото".

Toва

[tex]lny=4ln(x^3-1)-3ln(x^2+1) / \frac{d}{dx}[/tex]

е това

[tex](lny)'=\left[4ln(x^3-1)-3ln(x^2+1) \right]'[/tex]

записано по друг начин.

[mkmarinov]

Не деля на d/dx, чертата съм я сложил да отделя!
[tex]\frac{dy}{dx}=(\frac{d}{dx})y[/tex], [tex]\frac{d}{dx}[/tex] е диференциален оператор, на който подлагам и двете страни на равенството, т.е. диференцирам по х.
Третия ред се получава като директно използвам формулите за производна на сложна функция и на лявата, и на дясната страна: (ln(y))'=y'/y.

[gvv]

Благодаря на всички отговорили.