НГС и НМС на функцията

[emodinkov]

Здравейте Имам проблем с решаването на задачата

Да се намери най-малакта и най-голямта стойност на функцията :

f(x)= х^4 + 2x^2 + 7 X пренадлежи на [-2 ; 2]

f(x) = x ( върху ) x^2 + 7 X пренадлежи на [-4 ; 4 ]

Задачите трябва да са лесни , да не ви затрудняват , но мен много ... тук нищо не знам . И ако може да ми ги решите с малко повече обеснение като на идиот . Благодаря Ви много

[prodanov]

Тоя урок и аз не можах да го разбера, утре учителката ще ми го предаде и ако няма отговори, щи напиша и втората. В урока пише, че първата производна трябва да е нула, пък тва кубично уравнение, което се получава, е бая сложно за решаване в 12:00.

Мога първата да ти реша по логика.

[tex]f(x)= x^4 + 2x^2 + 7x[/tex]

[tex]x^4[/tex] и [tex]2x^2[/tex] [tex]\ge 0[/tex] за всяко [tex]x[/tex]. Най-малката им стойност е нула. Откъдето и НМС е [tex]f(0)=0[/tex].
НГС = [tex]\pm 2[/tex]. Т.е края на интервала, един от двата е. Понеже първите два члена са винаги по-големи от нула, а третия може си смени знака, значи логично при плюс да е повече.

[nikko]

Мога първата да ти реша по логика.

[tex]f(x)= x^4 + 2x^2 + 7x[/tex]

Знам, че е късна нощ, но логиката ти куца.
Производната е [tex]f'(x)=3x^3+4x+7[/tex] и единия и корен се вижда с просто око, че е -1
или [tex]f'(x)=(x+1)(3x^2-3x+7)=0[/tex] само когато [tex]x=-1[/tex] защото множитела 3x^2-3x+7 има отрицателна дискриминанта. Тогава най-малката и най-голяма стойност се достига в краищата на интервала или в точка, в която първата производна е нула. Намираме [tex]f(-2)=10,\ f(-1)=-4,\ f(2)=38[/tex] и очевидно НМС имаме f(-1)=-4, а най-голяма f(2)=38.

За втората съкрати на x и разсъждавай за знаменателя на получената производна.

[emodinkov]

А с малко повече подробности?

Производната как става? Как се бележи в графика и прочие? Найстина просто не разбирам

Как с просто око го виждаш , че е -1? Ужас... много съм зле с тая НГС и НМС

[prodanov]

Объркал си производната, но и мойта логика куца.

Авторе, производната става като извадиш степента до коефициента и намалип степента с единица, когато е константа изчезва. Но за по-сложни функции ти препочвам да прочетеш в учебника за 12ти профил, мн добре е обяснено.

-1 се вижда, защото първия+втория+третия коефициент= четвъртия
1 става ако първия+втория+.... = 0

Pървия коефициент е 4, не 3, но отговорите май са верни. Научи таблица на Хорнер за тва по-горе.

[emodinkov]

т.е

4х на 3-та .... 4х + 7?

И после...

[prodanov]

Така ше се объркаш. В урока ще ти е по-лесно.

(ax^3 + bx^2 + cx + d)' = 3ax^2 + 2bx + c
(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e)' = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
(x^4 + 2x^2 + 7x)' = 4x^3 + 4x + 7

[emodinkov]

Аха , това го схванах , мерси

Уви учебника за 12 клас не го пазя ...

В университета ни заринаха с Матрици , дет , вектори и изведнъж това , с думите " Това няма да ви го обеснявам , трябва да го знайте ... " Ми ... мамаму стара не всички сме имали даскали по математика , който са обеснявали като хората.... и сега по това съм "жив зян"

[ptj]

Стига се оправдава, купи си една 4-значна таблица. Вътре има в сбит вид всичко, което си учил в училище.

[MMaster]

Вижте тази задача.
Да се намери НГС и НМС (ако съществуват) на функцията [tex]f(x)=2sin2x + cos4x[/tex] и [tex]x\in R[/tex]
Отг. 3/2 и -3
Въпросът ми е как да намеря НГС и НМС, след като нямам даден краен интервал, в който да ги търся?
Всъщност аз намирам първата производна на функцията, приравнявам на 0, намирам критичните точки и с тях замествам във функцията и получавам единия отговор 3/2. Но само дотам.
[tex]f(x)= 2sin2x + cos4x[/tex]

[tex]f^{'}(x)=4(cos2x-sin4x)=0[/tex]

[tex]cos2x - 2sin2xcos2x=0[/tex]

[tex]cos2x(1-2sin2x)=0[/tex]

[tex]cos2x=0[/tex] и [tex]sin2x= \frac{1}{2}[/tex]

[tex]x=\frac{\pi }{4} + \frac{k\pi }{2}[/tex] и [tex]x_{1} = \frac{\pi }{12} +k\pi[/tex] и [tex]x_{2}= \frac{5\pi }{12} + k\pi[/tex]

[tex]f( \frac{\pi }{4})= 1[/tex]

[tex]f( \frac{\pi }{12}) = \frac{3}{2} = f( \frac{5\pi }{12})[/tex]

[prodanov]

Да се намери НГС и НМС (ако съществуват) на функцията [tex]f(x)=2sin2x + cos4x[/tex] и [tex]x\in R[/tex]

[tex]f(x)=2sin2x+cos^22x-sin^22x=-2sin^22x+2sin2x+1\\t=sin2x;\vspace{}t\in[-1;1];\\f'(t)=2(-2t+1);\\t_0=\frac12\in[-1;1]\\f_{max[-1;1]}=f(\frac12)=\frac32;\\f_{min[-1;1]}=min\left{\begin{array}{ll}f(-1)=-3\\f(1)\vspace{}=1\\\end{array}\right}=-3[/tex]