Параметрична функция

[ceneto18]

Дадена е квадратната функция

[tex]f(x) = (m - 1)x^{2} - (m + 4) + 2m + 5[/tex],

където m е реален параметър. За кои стойности на m:
а) уравнението [tex]f(x) = 0[/tex] има реални корени;
б) неравенството [tex]f(x) > 0[/tex] е изпълнено за всяко x?

[martin123456]

Щом е квадратна ф-ция, значи [tex]m \ne 1[/tex].
A) Има реални корени (ако има 1, то има 2) [tex]\Leftrightarrow D\ge 0 \Leftrightarrow (m+4)^2-4(m-1)(2m+5)=m^2+8m+16-4(2m^2+3m-5)=-7m^2-4m+36\ge 0[/tex]. Последното неравенство е [tex]7m^2+4m-36 \le 0[/tex]. [tex]D_1=16+4.7.36=16(1+63)=16.64=4^{5}=2^{10}=32^2[/tex], [tex]m_1=\frac{-4-32}{14}=-\frac{18}{7}[/tex], [tex]x_2=\frac{-4+32}{14}=2[/tex], значи [tex]m \in [-\frac{17}{7},1) \cup (1,2)[/tex].
B)
1) [tex]m > 1[/tex]. Тогава неравенството е вярно за всяко x [tex]\Leftrightarrow D < 0[/tex]. От А) това значи [tex]m \in (-\infty, -\frac{17}{7}) \cup (2, +\infty)[/tex]. Тъй като [tex]m> 1 \Rightarrow m \in (2, +\infty)[/tex].
2) [tex]m <1[/tex]. Тогава графиката е надолу объната и няма как да е изпълнено за всяко x.

[ceneto18]

Ясно, разбрах я, благодаря ти.
Само отговора на А): първото число е [tex]-\frac{18}{7}[/tex] и при двойката има затворена скоба, защото неравенството е нестрого.