Съществуваща допирателна?

[skidrow]

Здравейте! Ще може ли някой да ми помогне с решаването на следната задача:
"Да се определи дали съществува допирателна към графиката на f(x), която е успоредна на абсцисната ос, ако:

[tex]f(x) = \frac{4x-1}{ x +3}[/tex]

Благодаря!

[Anubis]

[tex]f(x) = \frac{4x-1}{x+3} \Rightarrow f'(x) = \frac{13}{(x+3)^2}[/tex]

Ако е дадена функцията [tex]f(x)[/tex], то допирателната в точката [tex]( x_{0}; \, y_{0} )[/tex] към нейната графика се дава с уравнението

[tex]g(x) = y_{0} + (x-x_{0}).f'(x_{0})[/tex].

Две прави [tex]y_{1}, \, y_{2}[/tex], зададени с Декартовите си уравнения [tex]y_{1} = k_{1}x+b_{1}[/tex] и [tex]y_{2} = k_{2}x+b_{2}[/tex], са успоредно точно

когато [tex]k_{1}=k_{2}[/tex].

Уравнението на абсцисата е [tex]y=0[/tex], т. е. [tex]y=0.x+0[/tex]. По условие [tex]y || g(x)[/tex], откъдето трябва да са равни

коефициентите пред [tex]x[/tex]. В уравнението на абсцисата [tex]k_{1} = 0[/tex], а в уравнението на допирателната имаме

[tex]k_{2} = f'(x_{0}) = \frac{13}{(x_{0}+3)^2} \Rightarrow k_{1} = k_{2} \Leftrightarrow \frac{13}{(x_{0}+3)^2} = 0[/tex].

Това равенство е невъзможно, откъдето такава допирателна, успоредна на абсцисата, не съществува.

Забележка. На картинката са начертани допирателните в точките с абсциси [tex]x_{0}=0[/tex] и [tex]x_{0}=1[/tex]. Вижда се, че те не са

успоредни на абсцисата.

[skidrow]

Благодаря! Помогна ми много с разясняването на този тип задачи!