Период на функция

[ceneto18]

Намерете главния период на функцията:
[tex]a) y = \frac{sinx}{5}[/tex]
[tex]b) y = sinx + tgx[/tex]
[tex]c) y = 2sin5x[/tex]

[martin123456]

Нека периодът е [tex]P>0[/tex].

а) [tex]\forall x:\hspace{2mm}\frac{\sin{x}}{5}=\frac{\sin{(x+P)}}{5}\Leftrightarrow \forall x:\hspace{2mm} \sin{x}=\sin{(x+P)} \Leftrightarrow 2\sin\frac{x-x-P}{2}\cos\frac{x+x+P}{2}=0\Leftrightarrow \sin\frac{P}{2}\cos\frac{2x+P}{2}=0[/tex]. Последното е изпълнено [tex]\forall x\Rightarrow (x=0):\hspace{2mm}\sin P=0\Rightarrow P=\pi k,\hspace{2mm}k\in \mathbb{Z}[/tex]. Нека сега [tex]x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \sin\frac{P}{2}=0\Rightarrow P=2\pi k[/tex]. И значи дотук най-малкият възможен период е [tex]2\pi[/tex]. Ще докажем, че той удовлетворява условието. Наистина, [tex]\forall x:\hspace{2mm}\frac{\sin{x}}{5}=\frac{\sin{(x+2\pi)}}{5}[/tex].

b) [tex]\forall x:\hspace{2mm}\sin{x}+tgx=\sin{(x+P)}+tg(x+P)[/tex]. Ако [tex]x=0\Rightarrow 0=\sin{P}+tgP\Rightarrow \sin{P}(1+\frac{1}{\cos{P}})=0\Rightarrow \sin{P}cos{\frac{P}{2}}=0\Rightarrow P=\pi k, k\in \mathbb{Z}[/tex]. Нека сега [tex]x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin{P}+\cos{P})-\frac{\sin{P}+\cos{P}}{\sin{P}-\cos{P}}[/tex]. Заместаваме [tex]P=\pi k:\hspace{2mm}\frac{\sqrt{2}}{2}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}(-1)^k+(-1)^k\Rightarrow k[/tex] e четно. Дотук най - малката стойност на периода е [tex]P=2\pi[/tex]. Ще докажем,че намереният период удовлетворява условието на задачата: [tex]\sin({x+2\pi)}+tg(x+2\pi)=\sin{x}+tgx[/tex].

c) [tex]\forall x:\hspace{2mm}2\sin{5x}=2\sin{5(x+P)}\Rightarrow \sin{5x}=\sin{5(x+P)} \Rightarrow \sin\frac{5x+5P-5x}{2}\cos\frac{10x+5P}{2}=0\Leftrightarrow \sin\frac{5P}{2}\cos\frac{10x+5P}{2}=0[/tex].Вторият множител не може да е 0 [tex]\forall x\Rightarrow \frac{5P}{2}=\pi k, k \in \mathbb{Z}\Rightarrow P=\frac{2k}{5}\pi[/tex]. Най-малката възможна положителна стойност е [tex]P=\frac{2\pi}{5}[/tex]. Ще покажем, че тя удовлетворява условието: [tex]2\sin{(5(x+\frac{2\pi}{5}))}=2\sin{(5x+2\pi)}=2\sin{5x}[/tex].