Намерете най-малкото лице

[v1rusman]

зад.Допирателната към графиката на функцията [tex]f(x)=\frac{x}{x-1 }[/tex] в точка [tex]N(x; f(x) )[/tex] при [tex]x>1[/tex] пресича координатните оси [tex]Ox[/tex] и [tex]Oy[/tex] в точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex]. Да се намерят координатите на [tex]N[/tex], при които лицето на триъгълника [tex]OAB[/tex] е най-малко. (СУ-1998)

[ganka simeonova]

Аз ще означа точката с координати [tex]N(x_0; f(x_0)[/tex], а уравнението на допирателната с
[tex]y=kx+n[/tex]. Като се вземе предвид геом. смисъл на понятието производна се намира, че у-то има вида:
[tex]y=\frac{-x+x_0^2}{(x_0-1)^2 }[/tex]
Toгава А ще има координати [tex]A(x_0^2; 0)[/tex], a B-[tex]B(\frac{x_0^2}{(x_0-1)^2 }; 0)[/tex]
Тогава [tex]S_{AOB}=f(x_0)=\frac{x_0^4}{2(x_0-1)^2 } ; x_0>1[/tex]
Остава да намериш първата производна и да установиш, че за [tex]x_0=2[/tex] ф-та ще има НМС.

[v1rusman]

Не разбрах как се получава уравнението за допирателната.

[ganka simeonova]

Не разбрах как се получава уравнението за допирателната.

Има някаква формула за допирателната, която аз упорито отказвам да наизустя, защото не ме кефи такава готова формула.
Ок,
1) [tex]k=f'(x_0)=-\frac{1}{(x_0-1)^2 }=>y=-\frac{1}{(x_0-1)^2 }x+n[/tex]
Точка [tex]N(x_0;\frac{x_0}{x_0-1 })\in y=> \frac{x_0}{x_0-1 }=-\frac{1}{(x_0-1)^2 }x_0+n[/tex]
=>[tex]n=\frac{x_0}{x_0-1 }+\frac{1}{(x_0-1)^2 }x_0=\frac{x_0^2}{ (x_0-1)^2}=>y=\frac{-x+x_0^2}{(x_0-1)^2 }[/tex]