Производна

[*moon_flower*]

Здравейте,

Трябва да докажа, че най-голямата стойност на
[tex]\sqrt{sin^{2 }\alpha-sin^{3}\alpha } \le \frac{2\sqrt{3}}{9 }[/tex]
за [tex]\alpha[/tex] от 0 до 90 градуса. След като вдигнах на втора степен и положих стигнах до
[tex]x^{2 } - x ^{3 }\le \frac{4}{ 27}[/tex]
Оттук май трябва да реша задачата с производна, но не знам как. Моля ви, помогнете ми.

[atnast]

Това може да се докаже и без производна. Трябва да се докаже, че неравенството [tex]x^3-x^2+\frac{4}{27 }\ge 0[/tex] е изпълнено за всяко х от интервала (0;1). [tex]x^3-x^2+\frac{4}{27 }=(x-\frac{3}{2 })^2(x+\frac{1}{3 })[/tex]. Така неравенството е вярно за всяко [tex]x\ge -\frac{1}{3 }[/tex] следователно е вярно и за всяко х от интервала (0;1).