Брой корени на уравнение

[v1rusman]

зад. Да се намери броят на корените на уравнението [tex]x^4-4x^3+4x+5=0[/tex].

[v1rusman]

Никой ли няма идея ?

[atnast]

Нека [tex]f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x+5.[/tex]Намираме първата производна [tex]f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+4=4(x^{3}-3x^{2}+1).[/tex] Намираме втората производна [tex]f''(x)=12x(x-2).[/tex] Тя се анулира в 0 и 2. По теоремата на Болцано във всеки от интервалите [tex](-1 ;0), (0;2), (2;3)[/tex] първата производна има точно по един корен, защото [tex]f'(-1).f'(0)=-48<0; f'(0).f'(2)=-48<0;f'(2).f'(3)=-48<0[/tex]. Следователно функцията има 3 локални екстремума, при това по един в интервалите [tex](-1 ;0), (0;2), (2;3)[/tex]. Нека t е корен на [tex]f'(x)[/tex]. Тогава [tex]t^{3}=3t^{2}-1.[/tex] Понеже t≠0, след умножение с t получаваме [tex]t^{4}=3t^{3}-t=9t^{2}-t-3[/tex]. Оттук [tex]f(t)=9t^{2}-t-3-12t^{2}+4+4t+5=-3(t-2)(t+1)[/tex]. Така получаваме, че при [tex]t\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty ) f(t)<0[/tex], а при [tex]t\in (-1;2) f(t)>0.[/tex] Нека корените на [tex]f'(t)[/tex] са [tex]t_{1},t_{2}, t_{3}.[/tex] Понеже [tex]t_{1},t_{2} \in (-1;2),[/tex] a [tex]t_{3} \in (2;3)[/tex], то [tex]f(t_{1})>0, f(t_{2})>0, f(t_{3})<0.[/tex] Пак по теоремата на Болцано се получава, че уравнението има 2 корена, по един в интервалите [tex](t_{2};t_{3}),(t_{3};+\infty)[/tex].

[v1rusman]

Доста добро решение, браво !