интересни задачи с графики и функции

[mari_crazy]

Ще съм много благодарна ако някой помогне

[martin123456]

1.
a) [tex]y'=10x^4-27x^2+5\Rightarrow y''=40x^3-54x[/tex]
b) [tex]y'=2\cos{2x}\Rightarrow y''=-4\sin{2x}[/tex]

2.
a) [tex]f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3)[/tex]. Следователно намалява при [tex]f'(x)<0\Leftrightarrow x\in(-3,1)[/tex].
b) Локалните екстремуми са в точките на анулиране на първата производна. Тъй като фунцията намалява в интервала от а) локален минимум е [tex](1,-3)[/tex] и локален максимум e [tex](-3, 29)[/tex].

3.
Ако [tex]x=0\Rightarrow f(0)=0[/tex].
[tex]f(x)=\frac{x}{x-x^2-1}=\frac{1}{1-\frac{x^2+1}{x}}=\frac{1}{1-g(x)}, \hspace{2mm}g(x)=\frac{x^2+1}{x}[/tex]. Oчевидно, НМС на [tex]f(x)[/tex] се достига при НМС на [tex]g(x)[/tex]. [tex]g'(x)=\frac{2x.x-(x^2+1)}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}[/tex]. Функцията е симетрична относно правата [tex]y=-x[/tex]. Очевидно в контекста на фунцията [tex]f(x)[/tex] искаме [tex]g(x)>0[/tex]. Затова гледаме само чви квадрант (фунцията [tex]g(x)[/tex] e разположена в 1ви и 3ти квадрант). Там тя достига локален минимум в [tex]x=1, g(1)=2[/tex]. Значи НМС на [tex]\min f(x)=f(1)=-1[/tex].

4.
[tex]y=x^2-11x+24=(x-3)(x-8)\Rightarrow x_1=3, x_2=8[/tex].
Имаме [tex]y'=2x-11[/tex].
Допирателната към графиката на фунцията в точка [tex]a[/tex] има уравнение [tex]t=f(a)+f'(a)(x-a)[/tex] и в нашия случай уравнението на допирателната в точката [tex]a[/tex] e [tex]t: a^2-11a+24+(2a-11)(x-a)=a^2-11a+24+x(2a-11)-a(2a-11)=a^2-11a+24+x(2a-11)-2a^2+11a=x(2a-11)-a^2+24[/tex].
Последователно за [tex]a=3: t: -5x+15[/tex], за [tex]a=8: t: 5x+40[/tex]. Значи 5 и -5.