Задача с косинус на ъгли... от Коларов за производни

[jennifer]

Да се намери косинуса на ъгъла при върха на равнобедрен триъгълник с най голямо лице и постоянна дължина на медианата към бедрото.
Благодаря предварително

[Martin Nikovski]

Нека ъгълът, чийто косинус търсим, е [tex]\gamma[/tex].
Нека [tex]AM=m[/tex] е известната ("постоянна") медиана, а [tex]b[/tex] е бедрото на триъгълника.
ОТ следствието на косинусовата теорема за [tex]\Delta AMC[/tex]: [tex]cos\gamma=\frac{b^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2-m^2}{2b.\frac{b}{2} }=\frac{\frac{5b^2}{4 }-m^2}{b^2}[/tex]
[tex]cos\gamma =\frac{5}{4}-\frac{m^2}{b^2}\ \Rightarrow\ b^2=\frac{m^2}{\frac{5}{4 }-cos\gamma }[/tex]
Лицето на триъгълника е [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2 }b.b.sin\gamma =\frac{1}{2 }b^2sin\gamma=\frac{1}{2 }.\frac{m^2}{\frac{5}{4 }-cos\gamma }.sin\gamma[/tex]
[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{m^2sin\gamma}{\frac{5}{2 }-2cos\gamma }=S\left(\gamma\right)[/tex]
Това е функция на лицето от ъгъла... Намираме при коя стойност лицето е максимално, като намерим производната на функцията и приравним на нула.
[tex]S'(\gamma)=\frac{m^2.cos\gamma.\left(\frac{5}{2}-2cos\gamma\right)-m^2sin\gamma.2sin\gamma}{\left(\frac{5}{2}-2cos\gamma\right)^2 }=0[/tex] [tex]/.\frac{\left(\frac{5}{2}-2cos\gamma\right)^2}{m^2}[/tex]
[tex]\frac{5}{2 }cos\gamma-2cos^2\gamma-2sin^2\gamma=0[/tex]
[tex]\frac{5}{2 }cos\gamma-2\left(sin^2\gamma+cos^2\gamma\right)=0[/tex]
Използваме, че [tex]sin^2\gamma+cos^2\gamma=1[/tex] и получаваме: [tex]\frac{5}{2}cos\gamma-2=0[/tex]
[tex]cos\gamma=\frac{4}{5 }[/tex]

[jennifer]

Големи благодарности!!