Графика на функцията?

[TheDonchev]

y= (ln x)/x

[mp3]

Виж!

[TheDonchev]

Благодаря

[mp3]

Трябва да си направиш и изследването на функцията. Предполагам, че знаеш отделните стъпки

[TheDonchev]

Мен всъщност стъпките ми трябваха, но както и да е.. моя е грешката, че не съм си задал правилно въпроса

[mp3]

1. DM: x>0 (заради логаритъма!!)

2. Търсиш границите в краищата на ДМ, т.е за х клони към 0 отдясно и за х клонящо към +безкрайност.
[tex]lim _{x->0+0} (\frac{ln x}{ x} )= lim _{x->0+0} ( \frac{x-1}{ x} - \frac{(x-1)^{2}}{ x} +\frac{(x-1)^{3}}{ x} - ............)=[/tex]
[tex]= lim _{x->0+0} (1-\frac{1}{ x} \frac{(x-1)^{2}}{ x} +\frac{(x-1)^{3}}{ x} - ............ )= 1- \infty +0 = - \infty[/tex]

[tex]lim _{x->+\infty } (\frac{ln x}{ x} )=lim _{x->+\infty } (\frac{ \frac{1}{ x} }{1 } ) = +0[/tex]. Неопределеност[tex][\frac{\infty }{ \infty } ][/tex], решава се с правилото наЛопитал.

3. Намираш първата произвадна. При положителни стойности функцията расте, при отрицателни намалява, при нула - има критична точка (екстремум или инфлексна точка).
* за [tex]x \in (0;e)[/tex] у расте
* за [tex]x \in (e;+ \infty )[/tex] у намалява
* следователно х=е е локален максимум, [tex]y_{max} = y(e)= \frac{ln e}{e } = \frac{1}{ e}[/tex]


4. Намираш втора производна. От там и интервалите на изпъкналост/вдлъбнатост.

5. Търсиш асимптоти - вертикални, хоризонтални, наклонени.
* от границата [tex]lim _{x->0+0} (\frac{ln x}{ x} )= - \infty[/tex] следва, че х=0 е вертикална асимптота!
* от границата[tex]lim _{x->+\infty } (\frac{ln x}{ x} )=0[/tex] следва, че y=0 е хоризонталнa асимптота!


6. Обобщаваш резултатите в таблица и чертаеш графиката.
Успех!!!

[int]

В точка 2 обаче е допусната грешка. Написаното развитие на логаритъма е валидно в околност на точката x=1, а не в околност на х=0. В общи линии функцията ln x не допуска развитие в ред на Тейлор в околност на точката x=0, защото тя е особена точка, както за самата функция, така и за нейните производни от произволен ред.
Така че границата не може да се пресметне по този начин.

[mp3]

В точка 2 обаче е допусната грешка. Написаното развитие на логаритъма е валидно в околност на точката x=1, а не в околност на х=0. В общи линии функцията ln x не допуска развитие в ред на Тейлор в околност на точката x=0, защото тя е особена точка, както за самата функция, така и за нейните производни от произволен ред.
Така че границата не може да се пресметне по този начин.

Прав си! Бързах, а който бърза - греши. Просто гледах бързо да излезе отговора, защото го имах от графиката, а всъщност не решавах границата....