Да се докаже, че уравнение на 4-та степен има 4 корена, ако

[atnast]

Да се докаже, че ако уравнението [tex]x^{4}+ax^{3}+bx+c=0[/tex], където a,b и с са реални параметри, има четири различни реални корена, то ab<0.

[martin123456]

[tex]f(x)=x^4+ax^3+bx+c[/tex]
Имаме [tex]f'(x)=4x^3+3ax^2+b[/tex] и [tex]f''(x)=12x^2+6ax=6x(2x+a)[/tex].
Щом [tex]f(x)[/tex] има 4 реални корени, значи [tex]f'(x)[/tex] има 3 реални корена.
[tex]f''(x)[/tex] и се анулира в [tex]x_1=0[/tex], [tex]x_2=-\frac{a}{2}[/tex] и [tex]f'(0)=b[/tex], [tex]f'(-\frac{a}{2})=\frac{a^3+4b}{4}[/tex]. В тези точки имаме локални екстремуми.
Тъй като е известна графиката на полином от 3та степен с 3 реални корена е ясно също, че стойностите на екстремумите имат различни знаци, т.е. [tex]b(a^3+4b)<0 \Rightarrow (ab)a^2+4b^2<0\Rightarrow ab<0[/tex].