Редица

[WEBER]

Здравейте приятели,
Задачата е следната:
Да се докаже, че редицата [tex]a_n=\frac{n}{2^n }[/tex] е ограничена. В учебника е даден отговор [tex]|a_n|\le 1[/tex], но аз получавам [tex]|a_n|\le \frac{\sqrt{2} }{2^{\sqrt{2}}}[/tex]
Между другото задачата е за 10 или 11 клас, аз се опитах да помогна на един приятел, но той не ми разбра метода. Ако може едно десетокласно решение

[Добромир Глухаров]

[tex]n \in \mathbb{N}[/tex]

[tex]a_1=\frac{1}{2},\ a_2=\frac{1}{2},\ a_3=\frac{3}{8},\ a_4=\frac{1}{4},\ a_5=\frac{5}{32}\ \cdots[/tex]

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\underbrace{\(1+\frac{1}{n}\)}_{\le 2}\le 1[/tex]

[tex]\Rightarrow\ a_{n+1}\le a_n\ \Rightarrow\ a_n\le \frac{1}{2}<1[/tex]

[tex]n>0,\ 2^n>0\ \Rightarrow\ a_n>0[/tex]

[tex]0<a_n<1\ \Rightarrow\[/tex] редицата е ограничена.

[WEBER]

Така е, мерси. Заблудил съм се.