Интервалите на растене и намаляване и локалните екстремиуми

[baroveca]

Здравейте. Ще помоля за подробно решение на следните две задачи:
1.Да се намерят интервалите на растене и намаляване и локалните екстремиуми на функцията [tex]f(x)=|x^3+2x^2-15x|[/tex]
2.Да се намирят НГС и НМС на ф-цията [tex]f(x)=\frac{|x^2+x-2|+|x^2-x-2|}{x^2+1 }[/tex]
Благодаря предварително.

[Гост]

1
[tex]f(x)=|x^3+2x^2-15x|=|x(x^2+2x-15)|=|x(x+5)(x-3)|[/tex]
A) [tex]x(x+5)(x-3)\ge 0 \Leftrightarrow x\in [-5,0]\cup[3,+\infty)[/tex]
Б) [tex]x(x+5)(x-3)\le 0 \Leftrightarrow x\in [-\infty,-5]\cup[0,3][/tex]
Също [tex](x^3+2x^2-15x)'=3x^2+4x-15=3(x-\frac{5}{3})(x+3)[/tex]
A) имаме фунцията расте в [tex]x\in [-5,-3]\cup [3,+\infty)[/tex] и намалява в [tex]x\in [-3,0][/tex]. Локален макс в [tex]x=-3: f(-3)=[/tex], локален мин не се достига.
Б) расте в [tex]x\in [0,\frac{5}{3}][/tex], намалява иначе. Няма локален мин, има локален макс в [tex]x=\frac{5}{3}: f(\frac{5}{3})[/tex].

2
Имаме [tex]D_{x^2+x-2}=D_{x^2-x-2}=3^2[/tex], [tex]x^2+x-2=(x-1)(x+2)[/tex], [tex]x^2-x-2=(x-2)(x+1)[/tex].
А) [tex]x\in[-\infty,-2]\cup [2,+\infty):[/tex] [tex]f(x)=\frac{2x^2-4}{x^2+1}[/tex]
Б) [tex]x \in [-2-1]:[/tex] [tex]f(x)=\frac{-2x}{x^2+1}[/tex]
В) [tex]x\in [-1,1]:[/tex] [tex]f(x)=\frac{-2x^2+4}{x^2+1}[/tex]
Г) [tex]x\in [1,2]:[/tex] [tex]f(x)=\frac{2x}{x^2+1}[/tex]

Разглеждаме фунцкциите [tex]g(x)=\frac{2x^2-4}{x^2+1}[/tex] и [tex]h(x)=\frac{2x}{x^2+1}[/tex].
[tex]g'(x)=\frac{(4x)(x^2+1)-(2x^2-4)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x(x^2+1-x^2+2)}{(x^2+1)^2}=\frac{12x}{(x^2+1)^2}[/tex]. Това значи, че [tex]g(x)\uparrow \Leftrightarrow x>0, g(x) \downarrow \Leftrightarrow x<0[/tex]. Приложено за А) и В): за В) НГС е в 0 и стойността е [tex]f_v(0)=4[/tex], за А) трябва да видим какво става в безкрайност: [tex]\lim_{x\to \infty}\frac{2x^2-4}{x^2+1}=2[/tex]. Така че, дотук НГС е 4.
[tex]h'(x)=\frac{2(x^2+1)-2x.2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}[/tex]. Намалява в [tex]x\in[-1,1][/tex] и расте иначе. Значи за Б) расте в дефиниционния интервал и значи НГС за Б) е [tex]f_b(-1)=1[/tex]. За Г): НГС е [tex]f_g(1)=1[/tex].
Окончателно 4.

[lohblizzard]

Ще може ли да ми обясните как се изследва за монотонност и локалните екстремуми на функията

f(x) = xe^\frac{-x^2}{2 }
Благодаря!