Проблем с производни

[c3c0mat]

Здравейте,
имам за домашно да реша следния пример и нещо не мога да си спомня какво обесняваше госпожата за него...

y=x^(x) y'=?

Благодаря предварително

[alexander_ivanov]

[tex]y=x^x[/tex][tex]=>[/tex][tex]y'=x.x^{x-1}[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]y=x^x[/tex][tex]=>[/tex][tex]y'=x.x^{x-1}[/tex]

Това не е вярно!
[tex]lny=xlnx=>\frac{1}{ y} .y'=1+lnx=>y'=x^x(1+lnx)[/tex]

[grav]

[tex]y=x^x[/tex][tex]=>[/tex][tex]y'=x.x^{x-1}[/tex]

Първо си мислим, че функцията е степенна и използваме правилото [tex](t^n)'=nt^{n-1}[/tex]. Получаваме

[tex]y'=(x^x)'=x.x^{x-1}=x^x[/tex]

След това се усъмняваме и решаваме, че фунцията е показателна и използваме правилото [tex](a^t)'=a^t\ln(a)[/tex]. Получаваме

[tex]y'=(x^x)'=x^x\ln(x)[/tex]

Пак се усъмняваме, защото фунцията изглежда едновремено степенна и показателна. Следователно трябва да изпозваме и двата отговора заедно. Получаваме

[tex]y'=x^x+x^x\ln(x)[/tex]

[mkmarinov]

Пак се усъмняваме, защото фунцията изглежда едновремено степенна и показателна. Следователно трябва да изпозваме и двата отговора заедно

Това има ли обосновка или е просто съвпадение?

[grav]

Това има ли обосновка или е просто съвпадение?

Obosnovka v kakuv smisul. Raboti samo za [tex]f(x)^{f(x)}[/tex].

[ptj]

[tex]x^x=e^{x.\ln x}[/tex]

[tex]\left( x^x \right)'=\left(e^{x.\ln x}\right)'=(x.lnx)'.e^{x.\ln x}=(1.lnx+x.\frac{1}{x })e^{x.\ln x}=(lnx+1)e^{x.\ln x}=(lnx+1)x^x[/tex]

Това е начина.