Минимум

[inveidar]

Да се намери най-малката стойност на израза

[tex]\sqrt{2x^{2}+2x+1} +\sqrt{2x^{2}+8x+16}[/tex].

[alexander_ivanov]

[tex]\sqrt{17}[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]\sqrt{17}[/tex]

Би ли написал решение?

[alexander_ivanov]

Нека [tex]f(x)=\sqrt{2x^{2}+2x+1} +\sqrt{2x^{2}+8x+16}[/tex],то [tex]f'(x)=\frac{4 x+2}{2 \sqrt{2 x^2+2 x+1}}+\frac{(4 x+8)}{2 \sqrt{2x^2+8 x+16}}[/tex]. Сега трябва да отбелeжа, че функцията има само глобален минимум(няма глобален максимум)
=> решавам [tex]f'(x)=0[/tex], коeто се получава само при [tex]x=-\frac{4}{5}[/tex] => [tex]min(f(x))=f(-\frac{4}{5})=sqrt{17}[/tex]

[ganka simeonova]

Какво у-е получаваш за първата производна равна на 0?

[grav]

Какво у-е получаваш за първата производна равна на 0?

Той е написал производната, след опростяване

[tex]30x^2+24x=0[/tex]

[ganka simeonova]

Грав, не те питах теб, а Александър и явно съм имала предвид нещо!

[alexander_ivanov]

[tex]f'(x)=\frac{4 x+2}{2 \sqrt{2 x^2+2 x+1}}+\frac{(4 x+8)}{2 \sqrt{2x^2+8 x+16}}[/tex]

превеждаме под общ знаменател и получаваме това което е написал grav, а днес малко ме мързи и пиша не толкова подробни решения.
А и лека нощ на всички,аз си лягам, че утре ставам рано

[ganka simeonova]

Какво у-е получаваш за първата производна равна на 0?

Той е написал производната, след опростяване

[tex]30x^2+24x=0[/tex]

И даже и така да е производната, нещо не ми се връзва. Къде има тогава макс и мин? Какво има в 0?

[ganka simeonova]

Да отбележа, че съм съгласна напълно с отговора, но не ми е ясно решението, не че се заяждам

[alexander_ivanov]

в нулата има локален екстремум, аз използвам теоремата на Ферма

[grav]

Да отбележа, че съм съгласна напълно с отговора, но не ми е ясно решението, не че се заяждам

Тия неща нали се учат в 11ти клас. Фунцията е намаляваща до -4/5 и разстща след това. Не разбирам какво не е ясно!

[ganka simeonova]

Той е написал производната, след опростяване

[tex]30x^2+24x=0[/tex]

Да разбирам ли, че това което си написал в ляво на равенството е самата първа производна според теб? Или по- скоро числителят на първата производна, приравнен на 0?
Е, това не ми е ясно! Иначе много добре знам,кога се учат тези неща- в 12 клас в ПП!
И ако е така, сори но така няма мин в (-4/5)
Задачата може да се реши и по друг начин! Първата производна е доста тегава!

[ganka simeonova]

Иначе и една хубава програма казва, че
корен 17 е минимум

[grav]

Той е написал производната, след опростяване

[tex]30x^2+24x=0[/tex]

Да разбирам ли, че това което си написал в ляво на равенството е самата първа производна според теб? Или по- скоро числителят на първата производна, приравнен на 0?
Е, това не ми е ясно! Иначе много добре знам,кога се учат тези неща- в 12 клас в ПП!
И ако е така, сори но така няма мин в (-4/5)
Задачата може да се реши и по друг начин! Първата производна е доста тегава!

Това е уравнението "първа производна равна на нула" след опростяване. Сметките не са трудни. Но щом не ти е ясно, хубаво.

[ganka simeonova]

Грав, нещата са ми пределно ясни,колкото и да ти е чудно! Аз питах Алексанндър за някои неща, не теб! И го попитах, защото ми е направило впечатление, че е в малките класове- 8 май:)
Освен това, не ми отговори за равенството- дали това в ляво е самата първа производна. Според теб, най да. Тогава ще има мин в 0! Но, задачата може да се реши без тегавата първа производна. Стоянов няма да пусне задача, която да се решава с куппища сметки! ХАУ!

[ganka simeonova]

Какво у-е получаваш за първата производна равна на 0?

Той е написал производната, след опростяване

[tex]30x^2+24x=0[/tex]

Освен това, ф-та наистина има само един глобален мин, така че няма как първата производна да се анулира на две места и да си сменя знака, в тези две точки.

[strangerforever]

Нека разгледаме в правоъгълна координатна система следните точки:

[tex]A(x;x+1), B(-4;1)[/tex]. Тогава [tex]OA = \sqrt{x^2 + (x+1)^2}[/tex] и [tex]AB = \sqrt{(1-x-1)^2 + (-4-x)^2} = \sqrt{x^2 + (4 + x)^2[/tex]

Тогава [tex]OA + AB = A[/tex] (разглежданият израз).

Очевидно [tex]min(OA + AB) = OB = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}[/tex] (доказва се лесно).

[grav]

Ганке, ти май не четеш, това е уравнението след опростяване, има повдигане на квадрат, следователно не всички корени са корени на изходното уравнение. Разбира се, че задачата може да се реши и по друг по-хитър начин. Но работата е там, че и стандартния метод работи и то без чак толкоша сметки.

[ganka simeonova]

Нека разгледаме в правоъгълна координатна система следните точки:

[tex]A(x;x+1), B(-4;1)[/tex]. Тогава [tex]OA = \sqrt{x^2 + (x+1)^2}[/tex] и [tex]AB = \sqrt{(1-x-1)^2 + (-4-x)^2} = \sqrt{x^2 + (4 + x)^2[/tex]

Тогава [tex]OA + AB = A[/tex] (разглежданият израз).

Очевидно [tex]min(OA + AB) = OB = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}[/tex] (доказва се лесно).

много хубаво решение

[inveidar]

Нека разгледаме в правоъгълна координатна система следните точки:

[tex]A(x;x+1), B(-4;1)[/tex]. Тогава [tex]OA = \sqrt{x^2 + (x+1)^2}[/tex] и [tex]AB = \sqrt{(1-x-1)^2 + (-4-x)^2} = \sqrt{x^2 + (4 + x)^2[/tex]

Тогава [tex]OA + AB = A[/tex] (разглежданият израз).

Очевидно [tex]min(OA + AB) = OB = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}[/tex] (доказва се лесно).