ТЕОРЕМАТА НА ДОНЕВ

[ins-]

Светлозар Дойчев е преподавал на Георги и той сигурно ще се радва да види решението. Тъкмо ще успее да реши "Задача на седмицата", ако му остане време.

[georgi111]

Виждал съм го със сигурност ... Но съм забравил как става ... Светльо му беше слабост теория на числата ...

[georgi111]

Светлозар Дойчев е преподавал на Георги и той сигурно ще се радва да види решението. Тъкмо ще успее да реши "Задача на седмицата", ако му остане време.

Е Боби той не само на мен е преподавал ... Апогея на школата беше Николай Белухов Надявам се да не е последния дай Боже А за четириъгълника - подхлъзнал съм се по пътя ... пак с едни ъгли ... Има за бутане там

[ins-]

Случва се ... някой каза, че задачите дето пускам понякога не са леки. Тъкмо няма да ми се смеят хората, вероятно, когато пусна нещо по-лесно.

[drago]

Много ти е претрупана задачата, до степен че отказва човек да прави чертеж. То си личи, че си го налучквал с компютър. Затова и не ми допада. Просто мое мнение. Ти решавал ли си я?
И още нещо. За да бъде една задача попадение трябва да има някаква идея, която е пътеводна нишка. Каква е твоята?

[Гост]

Исках да открия някое свойство на четириъгълника. Нещо подобно на Олимпиада на Полша - 1996 г. - втори кръг има подобна задача, но излезе нещо малко по-различно. Стори ми се факта любопитен и затова я пуснах. За претрупана - да, не малко елементи има - голяма част от буквите на английската азбука са изредени, но и подобни неща пак не се (пре)откриват лесно, даже и с компютър.
Доколко е попадение - като се види решението може да се каже. На НОМ, последен кръг преди ТСТ - съм виждал също сложни конструкции. Въпрос на вкус е всичко. На мен ми се струва малко нестандартна. Опитах се да я реша и стигам донякъде, но от там-нататък - забозвам.

[georgi111]

Да довършим уравнението което господин Стоянов пусна все пак .От предишните ми разсъждения докудето са верни следва че [tex]x,y[/tex]-нечетни за да има даденото уравнение решение.Сега по модули съответно 7(за [tex]y[/tex]), 9(за [tex]x[/tex]), виждаме че [tex]x=6m+3, y=6n+5[/tex], ([tex]m,n \ge 0[/tex]). Сега даденото уравнение се записва като :[tex]\frac {a^3 + 5^3}{b^3 + 5^2}=9[/tex], където [tex]a=7^{2m+1}, b=3^{2n+1}, (a,5)=(b,5)=1[/tex].Добре известно е , че тогава [tex](a+5, a^2-5a+25)=1,3[/tex]. Оттук следва, че са възможни следните случаи:
1 случай)
[tex]-)a+5=3A[/tex]
[tex]-)a^2-5a+25=3B[/tex]
[tex]-)(A,B)=1[/tex]
Тогава [tex]\frac {AB}{b^3+5^2}=1[/tex]. Оттук следват 2 подслучая:
1.1 случай)
[tex]-)b^3+5^2=A= \frac {a+5}{3}[/tex], откъдето [tex]7(7^{2m}-10)=3b^3[/tex],.т.е [tex]7 | b^3[/tex], което е невъзможно.
1.2 случай)
[tex]-)b^3+5^2=B[/tex], откъдето [tex]a^2-5a+25=3(b^3+5^2)[/tex], което е квадратно относно [tex]a[/tex]. Дискриминантата му е :[tex]225+12b^3=l^2[/tex]. Ясно е , че [tex]3 | l, l=3l_1[/tex], откъдето последното се записва като [tex]75+4b^3=(l_1)^2[/tex], или [tex]25+4.(3^{3n+1})^2=(l_1)^2[/tex], или [tex](l_1-2.3^{3n+1})(l_1+2.3^{3n+1})=25[/tex]. Сега последно имаме следните подслучаи:
1.2.1 случай)
[tex]-)l_1-2.3^{3n+1}=1, 25[/tex]
[tex]-)l_1+2.3^{3n+1}=25, 1[/tex]
невъзможно за цели [tex]l_1,n[/tex], или [tex]3^{3n+1}=6[/tex]- невъзможно.
1.2.2 случай)
[tex]-)l_1-2.3^{3n+1}=5, -5[/tex]
[tex]-)l_1+2.3^{3n+1}=5, -5[/tex]
невъзможно за цели [tex]l_1,n[/tex]
1.2.3 случай)
[tex]-)l_1-2.3^{3n+1}=-1, -25[/tex]
[tex]-)l_1+2.3^{3n+1}=-25, -1[/tex]
невъзможно за цели [tex]l_1,n[/tex], или [tex]3^{3n+1}=6[/tex]- невъзможно.

2 случай)
[tex]-)a+5=A[/tex]
[tex]-)a^2-5a+25=B[/tex]
[tex]-)(A,B)=1[/tex]
Тогава [tex]\frac {AB}{b^3+5^2}=9[/tex]. Оттук следват 2 подслучая:
2.1 случай)
[tex]-)b^3+5^2 | A[/tex], откъдето [tex]A=B_1(b^3+5^2)[/tex] или [tex]B.B_1=9[/tex], откъдето [tex]B_1.(3^{2n})=3[/tex], което води до [tex]B_1={1,3}[/tex], откъдето [tex]3^{2n}={3,1}[/tex], което е възможно само във 2рия подслучай и тогава [tex]n=0[/tex]. Тогава[tex]x=3,y=5[/tex].
2.2 случай)
[tex]-)b^3+5^2 | B[/tex], откъдето [tex]B=B_1(b^3+5^2)[/tex] или [tex]A.B_1=9[/tex], откъдето [tex]А={9,3,1}[/tex], което води до [tex]a={4,-2,-4}[/tex], което е невъзможно.

Така даденото уравнение има единствено решение (3,5).