Най-простото доказателство на последната Теорема на Ферма [img]
От :
https://www.24chasa.bg/Article/5458315Постижението на Андрю Уайлс при доказването на Последната теорема ма Ферма, публикувано в работата „Модулни елиптични криви и Последната теорема на Ферма“ [1] провокира въпроса:
„Това доказателство ли е имал пред вид Пиер дьо Ферма, когато през 1637 година на полето на книгата на Диофант [2] е написал на латински [3]:
Не е възможно да се раздели куб на два куба, или четвърта степен на две четвърти степени, или изобщо всяка степен по-висока от втора, на две същи степени. Аз открих наистина прекрасно доказателство, но полето е твърде малко за да го побере”.
Очевидно е, че изключително сложния индиректен метод на изграждане на доказателството на теоремата, използван от Андрю Уайлс, не изразява нивото на математическите познания в първата половина на 17 век. Следователно, въпросът „Какво доказателство е имал пред вид Пиер дьо Ферма?“ ще продължава да вълнува математическата общност до момента, в който не се появи доказателство на Последната теорема на Ферма, което да даде отговор на този въпрос.
Възможно ли е това да се случи, след като в продължение на 358 години не е намерено друго доказателство? Друга възможност е Пиер дьо Ферма да не е намерил доказателство на теоремата си, както се предполага в работата [4], страница 5:
„Той твърдял, че е открил забележително доказателство. Има известно съмнение за това поради различни причини. Първо, тази забележка е била публикувана без негово разрешение, фактически от неговия син, след смъртта му. Второ, в по-късната му кореспонденция Ферма обсъжда случаите за n = 3 и 4, без да се споменава това предполагаемо доказателство. Изглежда, като че ли това е бил един импровизиран коментар, който Ферма е пропуснал да изтрие“.
Този коментар е логически неиздържан във всяко отношение, защото:
- Пиер дьо Ферма не е знаел, че след като умре ще започнат да го уважават толкова много.
- Той се е занимавал с математика в свободното си време, за развлечение.
- След смъртта му е нямало как синът му да иска разрешение от него за да публикува записките му.
- Това, че в кореспонденцията му, след като е открил теоремата си, са обсъждани случаите за n = 3 и n = 4 не означава, че той не е открил прекрасно доказателство на теоремата си. В кореспонденцията си всеки може да обсъжда всичко, в зависимост от ситуацията.
Като се вземе под внимание, че Пиер Ферма е гениален математик, е напълно възможно той да не се е заблудил и да е открил “наистина прекрасно доказателство” на теоремата си.
Ако теоремата му се докаже със знанията от неговото време, ще се окаже, че абсолютно всичко написано до сега във връзка с доказателството на Последната теорема на Ферма е ужасно глупаво и позор за математиците, работещи в това направление през последните 358 години.
Тъй като диофантовото уравнение аn + bn = cn е нерешимо в общия случай, следва:
Ако Пиер дьо Ферма е открил “наистина прекрасно доказателство” на теоремата си, тогава той е забелязал в равенството аn + bn = cn не диофантовото уравнение, което забелязват всички, а нещо друго.
В следващото съдържание под естествени числа ще разбираме 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Теоремата на Питагор може да се представи в следния вид:
За n = 2, съществуват естествени числа (a, b, c), за които е изпълнено уравнението аn + bn = cn.
или във вида:
За n = 2, съществуват естествени числа (a, b, c), за които е изпълнено уравнението cn – (аn + bn) = 0
Последната теорема на Ферма може да се представи в следния вид:
За n > 2, не съществуват естествени числа (a, b, c), за които е изпълнено уравнението cn – (аn + bn) = 0.
От Последната теорема на Ферма следва, че за n > 2 е изпълнено
cn – (аn + bn) различно от 0.
Двете равенства cn – (аn + bn) = 0 и cn – (аn + bn) различно от 0 можем да ги обединим по следния начин:
cn – (аn + bn) = m (1)
където за n = 2 е изпълнено m = 0, а за n > 2 е изпълнено m различно от 0.
Прави впечатление, че в (1), където сме обединили двете уравнения (на Питагор и на Ферма) в едно уравнение, при промяната на n от n = 2 на n > 2, се променя и m от m = 0 на m различно от 0.
Възникна въпросът:
Това не означава ли, че между n и m = cn – (аn + bn) съществува функционална зависимост f(n) = cn – (аn + bn)
при която независимо от избора на естествените числа (a, b, c) на всяка стойност на n съответства една единствена стойност на f(n) и обратно – на всяка стойност на f(n) съответства една единствена стойност на n?
Пример 1:
Нека (a, b, c) = (3, 4, 5).
Изпълнено е:
32 + 42 = 52 и 52 – (32 + 42) = 0
33 + 43 < 53 и 53 – (33 + 43) = 34
34 + 44 < 54 и 54 – (34 + 44) = 288
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
От този пример се вижда, че за (a, b, c) = (3, 4, 5) за естествените се получава:
f(2) = 0; f(3) = 34; f(4) = 288; . . . ; f(n) = m; . . .
и е очевидно, че съответствието между n и f(n) е взаимно еднозначно.
Пример 2:
Нека (a, b, c) = (3, 4, 5).
Изпълнено е:
92 + 402 = 412 и 412 – (92 + 402) = 0
93 + 403 < 413 и 413 – (93 + 403) = 4192
94 + 404 < 414 и 414 – (94 + 404) = 259200
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
От този пример се вижда, че за (a, b, c) = (9, 40, 41) е изпълнено:
f(2) = 0; f(3) = 4192; f(4) = 259200; . . . ; f(n) = m; . . .
и е очевидно, че съответствието между n и f(n) е взаимно еднозначно.
От двата примера (и от всички останали примери, които можем да разгледаме) се вижда:
- Между n и f(n) съществува взаимно еднозначно съответствие, независимо от избора на естествените числа (a, b, c).
- Когато се променят естествените числа (a, b, c), тогава се променят стойностите на f(n), които съответстват на n, но взаимно еднозначното съответствие между n и f(n) се запазва.
- Когато за n = 2 е изпълнено cn – (аn + bn) = 0, и n расте, тогава разликата cn – (a2 + b2) расте и няма как да се получи равенство аn + bn = cn за n > 2, независимо от избора на естествените числа (a, b, c).
От полученото дотук следва:
Последната теорема на Ферма може да се изрази като функция по следния начин:
f(n) = cn – (аn + bn) (2)
където n е естествено число, за което е изпълнено n >= 2.
Може би функцията (2), а не диофантовото уравнение аn + bn = cn е имал пред вид Пиер дьо Ферма, защото, (както ще бъде показано по-долу) ако се използва (2), може да се получи просто и „наистина прекрасно доказателство“ на Последната теорема на Ферма.
Ако е така, това означава, че Пиер дьо Ферма е достигнал до понятието „функция“ през 1637 година, преди Лайбниц (1670).
В настоящата работа се предлага доказателство на Последната теорема на Ферма, като се използва функцията (2), но изразена по такъв начин, че да се използват знанията по математика от времето на Пиер дьо Ферма, с цел да се покажат две неща:
- Последната теорема на Ферма може да се докаже със знанията по математика от времето на Пиер дьо Ферма.
- Пиер дьо Ферма не е излъгал, не се е заблудил и не е фантазирал, като е записал, че е открил „наистина прекрасно доказателство“ на теоремата си.
Съществуват естествени числа (a, b, c), за които е изпълнена зависимостта
a2+ b2 = c2 (3)
Пример:
32 + 42 = 52
Ако (a, b, c) са три произволно избрани естествените числа, за тях винаги е изпълнена една от следните три зависимости:
а2 + b2 < с2 (4)
а2 + b2 = c2 (5)
а2 + b2 > c2 (6)
Зависимостите (4), (5) и (6) можем да ги запишем по следния начин:
c2 – (а2 + b2) > 0
c2 – (а2 + b2) = 0
c2 – (а2 + b2) < 0
и да ги обединим в една зависимост
c2 – (а2 + b2) = m (7)
където за m може да бъде изпълнено: m > 0; m = 0; m < 0.
Зависимостта (7) е частен случай на зависимостта (1), защото (7) се получава от (1), за n = 2.
План на доказателството:
Част 1: За естествените числа (a, b, c) е изпълнено а2 + b2 < с2.
Част 2: За естествените числа (a, b, c) е изпълнено а2 + b2 = с2.
Част 3: За естествените числа (a, b, c) е изпълнено а2 + b2 > с2.
Част 4: Доказателство на последната теорема на ферма, при условие, че за естествените числа (a, b, c) e изпълнена функцията f(n) = cn - (an + bn ).
Част 5: Заключение.
Ако използваме директно функцията (2), тогава доказателството на Последната теорема на Ферма се изразява на няколко страници (това ще се разбере от следващото съдържание), но сега нашата цел е друга:
Да покажем, че във всички случаи равенството
f(n) = cn – (аn + bn) (8)
е функция на n, при която съответствието между n и f(n) е взаимно еднозначно, независимо от избора на естествените числа (a, b, c).
...
Пълната статия можете да намерите на :
https://www.24chasa.bg/media/Documents/ ... 042016.PDF
Меню
?
