Малко помощ относно системи и сравнения?

[asdqwezxc]

Зад 1)
Да се реши системата :
[tex]\begin{tabular}{|l}15^{x} \equiv 236 (mod 19)\\4x^{10}\equiv 5(mod19) \end{tabular}[/tex]
Зад 2)
Да се намери един примитивен корен по модул 23 + 6 или да се покаже защо такъв не съществува.
Зад 3)
Да се реши сравнението:
[tex]111x \equiv 75(mod321)[/tex]
Зад 4)
Да се реши системата сравнения:
[tex]\begin{tabular}{|l}28x \equiv 44 (mod 60)\\15x \equiv 39(mod63)\\26x \equiv 48(mod70) \end{tabular}[/tex]
Зад 5)
Да се установи дали е вярно сравнението:
[tex]7^{31} \equiv 3^{25} (mod15)[/tex]

[martin123456]

2) какво е 23+6?

5) [tex]\varphi(15)=\varphi(3.5)=15\frac{2}{3}\frac{4}{5}=8[/tex] => за [tex](a,15)=1[/tex]: [tex]a^8 \equiv 1 (mod 15)[/tex]
=>[tex]7^{31}=7^{24}7^{7}\equiv 7^7 \equiv 49^37 \equiv 4^37 \equiv 28 \equiv 13 (mod 15)[/tex]

[tex]3^3 \equiv -3 (mod 15)[/tex], [tex]3^{25} \equiv 3^{24}3 \equiv (-3)^83 \equiv 3^9 \equiv (-3)^3 \equiv -3^3 \equiv 3 (mod 15)[/tex]

[asdqwezxc]

Нямам идея така ми е дадено по условие.

[martin123456]

1)[tex]236 \equiv 8(mod 19)[/tex]
[tex]\varphi(19)=18[/tex]=>[tex]15^{18} \equiv 1(mod 19)[/tex]
правим си следната таблица от остатъците на [tex]15^x[/tex], за [tex]x \in \{0,1,2,\ldots,17\}[/tex]
[tex]15^0 \equiv 1[/tex] [tex]\hspace{20mm}[/tex] [tex]15^1 \equiv -4[/tex][tex]\hspace{20mm}[/tex] [tex]15^2 \equiv 16 \equiv -3[/tex][tex]\hspace{20mm}[/tex] [tex]15^3 \equiv 12 \equiv -7[/tex][tex]\hspace{20mm}[/tex] [tex]15^4 \equiv 28 \equiv 9[/tex][tex]\hspace{20mm}[/tex] [tex]15^5 \equiv -36 \equiv 2[/tex]
[tex]15^6 \equiv -8[/tex][tex]\hspace{20mm}[/tex] [tex]15^7 \equiv 32 \equiv 13[/tex][tex]\hspace{20mm}[/tex] [tex]15^8 \equiv -52 \equiv 5[/tex][tex]\hspace{20mm}[/tex] [tex]15^9 \equiv -20 \equiv -1[/tex]
нататък остатъците са като горните но с отрицателен знак
значи ще даде 8 само за [tex]15^{15}[/tex]
значи [tex]x \equiv -4(mod 19)[/tex]
заместваме във второто уравнение: [tex]4(-4)^{10} \equiv 4^{11} \not \equiv 5 (mod 19)[/tex]
значи с-мата няма решение

[martin123456]

3)
[tex]321=3.107[/tex], [tex]111=3.37[/tex], [tex]75=3.25[/tex]
искаме [tex]x[/tex], че [tex]107|(37x-25)[/tex], т.е. [tex]37x \equiv 25 (mod 107)[/tex]
за да има това сравнение решение трябва [tex]25 \equiv 0 (mod (37,107))[/tex]<=>[tex]25 \equiv 0 (mod 1)[/tex], което е вярно. тъй като [tex](37,107)[/tex] имаме само едно решение [tex]< 107[/tex].

[martin123456]

4)
системата е еквивалентна на
[tex]\begin{array}{|l}7x \equiv 11 (mod 15)\\5x \equiv 13(mod21)\\13x \equiv 24(mod35) \end{array}[/tex]
за да има решение, трябва всяко от сравненията да има. нека [tex]d_i=(a_i,m_i)[/tex] за сравнението [tex]a_ix \equiv b_i(mod m_i)[/tex], [tex]i=1,2,3[/tex]. пресмеятаме ги: [tex]d_1=1[/tex], [tex]d_2=1[/tex], [tex]d_3=1[/tex]. значи всяко едно от срвненията има и то само 1 решение [tex]x_0 < m_i[/tex].
4.1) първото уравнение е еквивалентно по модул 15 на [tex]-8x \equiv -4[/tex]<=>[tex]15|(-8x+4)[/tex]<=>[tex]15|(-2x+1)[/tex]. [tex]-2x+1 \in \{-29,-27,\ldots,-1,1\}[/tex]. значи [tex]x \equiv 8[/tex]

аналогично за другите уравнения