Интересна задача.

[ognenaataka]

Да се докаже , че всяко нечетно число има кратно , записано с нечетни цифри.
Ако може с осмокласен метод , но всякакъв върши работа

[pal702004]

Съжалявам че повдигам архивна тема, но задачата наистина ми се стори интересна.
Ако числото m освен на 2 не се дели и на 5, е вярно по-силното твърдение -съществува число, съдържащо само единици, което се дели на m. Число състоящо само от единици е
[tex]\frac{10^n-1}{9}[/tex], а по теоремата на Ойлер ако a и m са взаимнопрости [tex]a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m[/tex]
Ако [tex]m=5^kt[/tex] само с единици няма да се разминем, но ако докажем, че за всяко k същесввува естествено "a", съдържащо само нечетни цифри, което се дели на [tex]5^k[/tex], ще го запишем последователно необходимият брой пъти, за да се дели освен на [tex]5^k[/tex] и на t.
Така че задачата се свежда до: За всяко естествено k съществува k-цифрено число a, съдържащо само нечетни цифри и делящо се на [tex]5^k[/tex].
Доказателство по индукция, за k=1 твърдението е вярно. Пред а можем да добавим нечетна цифра C , така че k+1 -цифреното число да се дели на [tex]5^{k+1}[/tex]
[tex]\\a=5^kn\\
C\cdot 10^k+a=C\cdot 10^k+5^kn=5^k(C\cdot 2^k+n)[/tex]
Ясно е, че за всяко k и n съществува подходящо C: [tex]C\cdot 2^k+n \equiv 0 \pmod 5[/tex]
Тоест, в зависимост от k,
[tex]a=\cdots 93359375[/tex]

[tex]\\5|5\\
5^2|75\\
5^3|375\\
\cdots[/tex]