TЧ

[Гост]

1. Да се докаже, че уравнението 5x^2 - 11y = 7 няма решение в множеството на целите числа.
2. Докажете , че ако abcab (не е произведение, а число) при деление с 91 дава остатък 9, то поне една от неговите цифри е равна на 1.
3. Да се докаже, че за всяко естествено число n, което не се дели на 3, числото 2^13-2 дели n^13-n.

[Гост1]

Достатъчно е всичко в уравнението да се вземе по mod 11 и ще се получи противоречие в равенството. Трябва да се използва, че квадратичните остатъци по mod 11 са 0,1,4,9,5,3.
Имаме, че числото [tex]10000a+1000b+100c+10a+b-9[/tex] се дели на 91. По mod 91 имаме [tex]10000a\equiv -10a[/tex], [tex]1000b\equiv -b[/tex] и [tex]100c\equiv 9c[/tex]. Така получаваме, че числото [tex]-10a-b+9c+10a+b-9=9(c-1)[/tex], се дели на 91. Оттук, понеже c е цифра, следва че c=1. Така откриваме, че ако това число дава 9 остатък при деление с 91, то c=1. Едновременно доказахме и обратното - ако c=1, то [tex]\overline{abcab}[/tex] дава остатък 9 при деление с 91.
[tex]2(2^{12}-1)=(2^6-1)(2^6+1)=2*9*7*5*13[/tex]. Ако n не се дели на k за k=2,5,7,13, то [tex]n^{12}-1[/tex] се дели, понеже [tex]\phi(k)|12[/tex] за тези k. Ако n не се дели на 3, то понеже [tex]\phi(9)=6|12[/tex], то [tex]9|n^{12}-1[/tex].
Ако n се дели на 3, но не и на 9, то 9 не дели [tex]n(n^{12}-1)[/tex], понеже не можем да приложим теоремата на Ойлер. Ако n се дели 9 обаче твърдението на задачата е вярно. Излиза, [tex]n^{13}-n[/tex] не се дели на [tex]2(2^{12}-1)[/tex] само ако n се дели на 3, но не и на 9.