Задача от сравнения по модул

[didi_879]

Здравейте,
Можете ли да ми обесните как се решава този тип задачи от сравнения по модул.
[tex]12^{2n+1} + 11^{n+2} \equiv 0(mod 133)[/tex]

Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

[tex]12^{2n+1}+11^{n+2}\equiv 12.144^n+121.11^n\equiv 12.11^n+(-12).11^n\equiv 0(mod\ 133)[/tex]

Следователно даденото сравнение е изпълнено за всяко естествено [tex]n[/tex].

[Vulev]

Преди всичко се опитай да свържеш числото 133 с 11 и 12. Това те насочва какви преобразувания да правиш. На пръв поглед съобразяваме, че [tex]133=11^{2}+12[/tex] и [tex]133=12^{2}-11[/tex]. Това значи, че
[tex]11^{2}\equiv-12(mod 133)[/tex] и [tex]12^{2}\equiv11(mod 133)[/tex]. Сега се опитваш да си видоизмениш израза, докато не получиш желаното:
[tex]12^{2n+1}=12.(12^{2})^{n}\equiv 12.11^{n}(mod 133)[/tex] и
[tex]11^{n+2}=11^{n}.11^{2}\equiv11^{n}.(-12)(mod 133)[/tex].
Следователно [tex]12^{2n+1}+11^{n+2}\equiv12.11^{n}-12.11^{n}(mod 133)\equiv 0(mod 133)[/tex].

[didi_879]

Благодаря! Схванах го това. Ако може да ми обесните и тази задача:
[tex](x+y)^{p} \equiv x^{p} + y^{p}(mod p)[/tex] , p-просто, x,y-цели

Решавам задачата, но мисля, че е неправилно(използвам че x и p, y и p са взаимнопрости, а мисля, че не е вярно)
Благодаря предварително!

[Vulev]

Използвай формулата за Нютонов бином. Коефициентите в него са винаги цели числа от вида p над k, т.е. [tex]\frac{p!}{(p-k)!k!}[/tex]. Тъй като p е просто число и този израз е цяло число ще трябва знаменателят да дели (p-1)!. Така винаги ще се получава, че съответният коефициент е p по някое число и значи е сравним с 0 по модул p. Затова всички едночлени в Нютоновия бином по модул p изчезват, с изключение на [tex]x^{p}[/tex] и [tex]y^{p}[/tex] - тук коефициентите са 1 и се получават при k=0 и k=p, т.е. в израза с многото удивителни (факториели) ще се получава [tex]\frac{p!}{p!}[/tex].

[didi_879]

Благодаря за бързия отговор и обяснението! Схванах го. Още веднъж благодаря!