Функцията [х]

[didi_879]

х - произволно
[tex][x + \frac{1}{2 } ] = [2x] - [x][/tex]
Ако може за подробно решение с обяснение. Този материал е нов за мен.
Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

[tex]x=[x]+\delta[/tex]

[tex][x][/tex] е най-голямото цяло число, което не е по-голямо от [tex]x[/tex].
[tex]\delta[/tex] е дробната част на [tex]x[/tex], когато [tex]x[/tex] е положително. Когато [tex]x[/tex] е отрицателно, [tex]\delta=1-\delta_1[/tex], където [tex]\delta_1[/tex] e дробната част на [tex]x[/tex].
Например: [tex]x=2,718 \Rightarrow [x]=2;\delta=0,718.\ x=-3,14\Rightarrow [x]=-4;\delta=1-0,14=0,86[/tex]

Провери, че и в двата случая [tex]x=[x]+\delta[/tex]

Забележка: Всъщност вместо [tex]\delta[/tex] е прието да се пише [tex]\{x\}[/tex].

Значи имаме [tex]x=[x]+\{x\}[/tex].

Сега по задачата:

Първо да повторим, че [tex][x][/tex] е цяло, а за [tex]\{x\}[/tex] имаме [tex]0\le\{x\}<1[/tex].

І. Случай: [tex]0\le\{x\}<\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\[x+\frac{1}{2}\]=\[[x]+\{x\}+\frac{1}{2}\]\{\frac{1}{2}\le\{x\}+\frac{1}{2}<1\}=[x][/tex], понеже [tex]\{x\}+\frac{1}{2}[/tex] e по-малко от [tex]1[/tex], цялата част е [tex][x][/tex].
[tex][2x]=\[2([x]+\{x\})\]=\[2[x]+2\{x\}\]=2[x][/tex], понеже [tex]2\{x\}[/tex] е по-малко от [tex]1[/tex].
[tex]\Rightarrow \[x+\frac{1}{2}\]=[x][/tex] и [tex][2x]-[x]=2[x]-[x]=[x][/tex], тоест лявата и дясната страна са равни на едно и също, значи са равни помежду си.

ІІ. Случай: [tex]\frac{1}{2}\le\{x\}<1[/tex]
[tex]\[x+\frac{1}{2}\]=\[[x]+\{x\}+\frac{1}{2}\]\{1\le\{x\}+\frac{1}{2}<1\frac{1}{2}\}=[x]+1[/tex], понеже [tex]\{x\}+\frac{1}{2}[/tex] e по-голямо от [tex]1[/tex], цялата част е [tex][x]+1[/tex].
[tex][2x]=\[2([x]+\{x\})\]=\[2[x]+2\{x\}\]\{1\le2\{x\}<2\}=2[x]+1[/tex], понеже [tex]2\{x\}[/tex] е по-голямо от [tex]1[/tex], но не достига [tex]2[/tex].
[tex]\Rightarrow \[x+\frac{1}{2}\]=[x]+1[/tex] и [tex][2x]-[x]=2[x]+1-[x]=[x]+1[/tex], тоест лявата и дясната страна са равни на едно и също, значи са равни помежду си.

С това тъждеството е доказано за всяко [tex]x\ (\forall x)[/tex].

[didi_879]

Благодаря! Схванах решението. Само един въпрос - как да разбера кога имам повече от един случай?

[Добромир Глухаров]

Ами в случая в условието имаме добавяне на [tex]\frac{1}{2}[/tex] и умножаване по [tex]2[/tex] на [tex]x[/tex], затова съм разделил интервала, в който се изменя [tex]\{x\}[/tex] на две равни части. Ако имахме [tex]x+\frac{1}{n}[/tex] и [tex]nx[/tex], трябваше да разделим интервала [tex][0;1)[/tex], в който се изменя [tex]\{x\}[/tex] на [tex]n[/tex] равни части и да разгледаме всеки подинтервал.
Но общо взето всичко зависи от конкретната задача. Трябва да съобразим колко различни стойности за дадените изрази се получават, когато дробната част на [tex]x[/tex] се изменя от [tex]0[/tex] до [tex]1[/tex].

[didi_879]

Значи тази функция има свойството [tex][x+y] = [x] + [y][/tex] ?

[Добромир Глухаров]

Значи тази функция има свойството [tex][x+y] = [x] + [y][/tex] ?

Не. Например ако [tex]x=1,9;\ y=3,8\ \Rightarrow\ [x+y]=[5,7]=5;\ [x]+[y]=1+3=4[/tex]

Ако [tex]\{x\}+\{y\}<1\ \Rightarrow\ [x+y]=[x]+[y][/tex], но ако [tex]\{x\}+\{y\}\ge1\ \Rightarrow\ [x+y]=[x]+[y]+1[/tex]

[didi_879]

Аха. Може ли някакъв линк към останалите свойства на функцията?

[Добромир Глухаров]

http://www.uacg.bg/filebank/att_1235.pdf - т. 4.1.3.

[Добромир Глухаров]

Може да погледнете и ТУК - стр. 30 глава 3

[didi_879]

Благодаря за линковете! Настина ще ми помогнат! Последни няколко въпроса:
Може ли да се твърди, че това е вярно
[tex][x.y]=[x].[y][/tex]
[tex][\frac{x}{y }]=\frac{[x]}{[y] }[/tex], за x, y - произволни

[didi_879]

Два въпроса:
1. Има ли обща формулировка на твърдението и дали е вярно : [tex][x+\frac{1}{ n} ] = [nx] + [(n-1)x][/tex]
2. Да се реши уравнението [tex][x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345[/tex]

Благодаря!

[Добромир Глухаров]

Благодаря за линковете! Настина ще ми помогнат! Последни няколко въпроса:
Може ли да се твърди, че това е вярно
[tex][x.y]=[x].[y][/tex]
[tex][\frac{x}{y }]=\frac{[x]}{[y] }[/tex], за x, y - произволни

Вземи например: [tex]x=8,9;\ y=19,7\Rightarrow [x]=8;\ [y]=19;\ [x.y]=[175,33]=175\ne 8.19;\ \frac{x}{y}<1\Rightarrow\ \[\frac{x}{y}\]=0\ne \frac{8}{19}=\frac{[x]}{[y]}\ \Rightarrow[/tex] тези две равенства не са изпълнени за произволни [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex], макар, че първото е изпълнено например за цели [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex], а второто за произволно [tex]x[/tex] и [tex]y=1[/tex].

[Добромир Глухаров]

Два въпроса:
1. Има ли обща формулировка на твърдението и дали е вярно : [tex][x+\frac{1}{ n} ] = [nx] + [(n-1)x][/tex]
2. Да се реши уравнението [tex][x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345[/tex]

Благодаря!

[tex]1.\ \[x+\frac{1}{n}\]=[nx]-[(n-1)x][/tex] - така ми прилича на вярно, но се затруднявам да го докажа. Може би някой друг ще помогне?

2.
[tex][x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]\le x+2x+4x+8x+16x+32x[/tex]

[tex]12345\le 63x[/tex]

[tex]x\ge 195\frac{20}{21}[/tex]

При [tex]195\frac{20}{21}\le x<196[/tex] лявата страна на уравнението става равна на [tex]12342[/tex], а при [tex]x=196[/tex] - на [tex]12348[/tex], следователно уравнението няма решение.

[didi_879]

Първият ми въпрос беше породен от ето този пример [tex]S = [\frac{n+1}{3 }] + [\frac{n+3}{ 9}]+[\frac{n+9}{27 }] + ....+[\frac{n+3^{k}}{3^{k+1} }] + ....[/tex]
Можете ли да помогнете с него?