Малко интересни задачи ;дд

[FFiFi]

1. Всеки от 999 ученика написал по 5 естествени числа, имащи произведение 64. Колко най малко ученика трябва да изберем, за да сме сигурни, че сред тях има поне петима, написали едни и същи числа, и то в един и същи ред?

2. В равнина са начертани n прави, всяка от които се пресича с 2012 други. Намерете всички възможни стойности на n.

3. За кои прости числа p съществуват цели числа a,b, такива че:
a+b се дели на р, но не и на р*р.
а*а*а+b*b*b се дели на p*р, но не и на р*р*р.

[alexander_ivanov]

1 зад.

Ненаредени петорките са :
(1,1,1,1,64) - 5 вар. за подреждане
(1,1,1,2,32) - 20 вар. за подреждане
(1,1,1,4,16) - 20 вар. за подреждане
(1,1,1,8,8) - 10 вар. за подреждане
(1,1,2,2,16) - 30 вар. за подреждане
(1,1,2,4,8) - 60 вар. за подреждане
(1,1,4,4,4) - 10 вар. за подреждане
(1,2,2,2,4) - 12 вар. за подреждане
(2,2,2,2,2) - 1 вар. за подреждане

Общо: 5+20+20+10+30+60+10+12+1=45+40+60+23= 100+68=168
=> ни трябват: 4*168+1=673 ученика.

П.П.: ако съм изпуснал петица моля ми кажете.

2зад.

Нека правите са разделени на групи успоредни прави.
Тези групи нека са [tex]A_1, A_2, ... , A_k[/tex] .
Всяка права от група [tex]A_i \forall i \in \left\{ 1,2,3,...,k \right\}[/tex] пресича всяка друга права от всяка група различна от [tex]A_i[/tex] и никоя права от своята собствена група [tex]A_i[/tex]
=> Всяка права от група [tex]A_i[/tex] пресича точно [tex]|A_1|+ |A_2|+ ...|A_{i-1}|+| A_{i+1}| + ...+ |A_k|[/tex] прави

от усл. следва, че [tex]|A_1|+ |A_2|+ ...|A_{i-1}|+| A_{i+1}| + ...+ |A_k|=2012, \forall i \in \left\{ 1,2,3,...,k \right\}[/tex]
=> [tex]|A_1|= |A_2|= ... = |A_k| + |A_1|+ |A_2|+ ...|A_{i-1}|+| A_{i+1}| + ...+ |A_k|=(k-1)|A_1|=2012[/tex]
[tex]=>(k-1)|2012 => (k-1)=\left\{1,2,4,503,1006,2012 \right\} => |A_1|=2012,1006,503,4,2,1 \& k=2,3,5,504,1007,2013[/tex]
броят прави е [tex]k.|A_1|=2.2012,3.1006,5.503,504.4,1007.2,2013.1=>[/tex]
броят прави е [tex]4024,3018,2515,2016,2014[/tex] или [tex]2013[/tex]

[alexander_ivanov]

3 зад.
записваме условието така:
[tex]\forall p=? : \exists a,b \in \mathbb{Z} :[/tex]
[tex]p||a+b[/tex]
[tex]p|| a^3+b^3[/tex]

Реш.:

[tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]
[tex]p||(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex] , [tex]p||a+b=>[/tex]
[tex]p|| a^2-ab+b^2=>[/tex]
[tex]p||(a+b)^2-3.ab[/tex] , [tex]p^2||(a+b)^2=>[/tex]
[tex]p||3.ab[/tex]

ако [tex]p|ab=>[/tex] БОО [tex]p|a[/tex]
=>от [tex]p|a[/tex], [tex]p||a+b=>[/tex] [tex]p|b=>[/tex]
[tex]p^2|a^2-ab+b^2[/tex] (от [tex]p|a[/tex] и [tex]p|b[/tex]) , което е противоречие с [tex]p|| a^2-ab+b^2[/tex]
[tex]=>p[/tex] не дели [tex]ab[/tex], но [tex]p|3.ab=>[/tex]
[tex]p|3[/tex] и [tex]p[/tex] просто
[tex]=>p=3[/tex]
и пример за такива [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са: [tex]a=1,b=2[/tex]