8n + 3 е съставно

[Apocalyp5e]

Докажете, че ако [tex]8n+1[/tex] и [tex]24n+1[/tex]са квадрати на цели числа, то [tex]8n+3[/tex] е съставно при [tex]n>1[/tex].

[martin123456]

не съм мн сигурен
1) [tex]n \equiv 0 (mod 3)[/tex]=>[tex]8n+3 \equiv 0 (mod 3) \cap 8n+3 > 3[/tex]=> съставно.
2) [tex]n \equiv 2 (mod 3)[/tex] => [tex]8n+1 \equiv 17 \equiv 2 (mod 3)[/tex], но няма квадрат конгруентен с 2 модул 3 => [tex]\empty[/tex].
3) [tex]n \equiv 1 (mod 3)[/tex] => [tex]n=3n_1+1[/tex]
[tex]8(3n_1+1)+1=r_1^2[/tex]=>[tex]24n_1+9=r_1^2[/tex]=>[tex]3|r_1[/tex]=>[tex]9|r_1^2[/tex]=>[tex]9|24n_1[/tex]=>[tex]n_1=3n_2[/tex]
[tex]24(3n_1+1)+1=r_2^2[/tex]
=>
[tex]8.9n_2+9=9s_1^2[/tex]
=>
[tex]8n_2+1=s_1^2[/tex]
[tex]24.9n_2+25=r_2^2[/tex]
Какви остатаъци има квадрат модул 11?
[tex]0 \rightarrow 0[/tex], [tex]1 \rightarrow 1[/tex], [tex]2 \rightarrow 4[/tex], [tex]3 \rightarrow 9[/tex], [tex]4 \rightarrow 5[/tex], [tex]5 \rightarrow 3[/tex], [tex]6 \rightarrow 3[/tex], [tex]7 \rightarrow 5[/tex], [tex]8 \rightarrow 9[/tex], [tex]9 \rightarrow 4[/tex], [tex]10 \rightarrow 1[/tex].
Искаме да док, че [tex]8n+3=8(3n_1+1)+3=24.3n_2+11[/tex] е съставно. Ако [tex]11|n_2[/tex], това е изпълнено, понеже [tex]n_1 >0[/tex], [tex]n_2 > 0[/tex]=>[tex]24.3n_2+11 > 11[/tex].
Горната система модул 11 е :
[tex]8n_2+1=s_1^2[/tex]
[tex]7n_2+3=r_2^2[/tex]
Разглеждаме няколко случая за [tex]n_2[/tex] - навсякъде под равно надолу се разбира конгруентно.
3.1) [tex]n_2 =1[/tex]=>[tex]7.1+3=10 =r_2^2[/tex]=>[tex]\empty[/tex]
3.2) [tex]n_2 =2[/tex]=>[tex]8.2+1=17=6=s_1^2[/tex]=>[tex]\empty[/tex]
3.3) [tex]n_2=3[/tex]=>[tex]7.3+3=24=2=r_2^2[/tex]=>[tex]\empty[/tex]
3.4) [tex]n_2=4[/tex]
3.5) [tex]n_2=5[/tex]=>[tex]8.5+1=41=8=s_1^2[/tex]=>[tex]\empty[/tex]
3.6) [tex]n_2=6[/tex]
3.7) [tex]n_2=7[/tex]=>[tex]8.7+1=57=2=s_1^2[/tex]=>[tex]\empty[/tex]
3.8) [tex]n_2=8[/tex]=>[tex]8.8+1=65=10=s_1^2[/tex]=>[tex]\empty[/tex]
3.9) [tex]n_2=9[/tex]=>[tex]8.9+1=73=7=s_1^2[/tex]=>[tex]\empty[/tex]
3.10) [tex]n_2=10[/tex]=>[tex]7.10+3=73=7=r_2^2[/tex]=>[tex]\empty[/tex]
Останаха 2 случая, но не мога да ги отхвърля още

[nikko]

Нека [tex]8n+1=u^2[/tex] и [tex]24n+1=v^2[/tex]
Умножаваме първото уравнение с 4, а второто с -1 и получаваме
[tex]32n+4-24n-1=8n+3=4u^2-v^2=(2u+v)(2u-v)[/tex] - съставно, освен в случаите:

[tex]\begin{array}{|l}2u+v=\pm1\\8n+1=u^2\\24n+1=v^2\end{array}\Leftrightarrow n= 0, u= \pm1, v =\mp1[/tex] или [tex]n=1, u= \pm3, v = \mp5[/tex] и в двата случая не е изпълнено [tex]n>1[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}2u-v=\pm1\\8n+1=u^2\\24n+1=v^2\end{array}\Leftrightarrow n= 0, u= \pm1, v =\pm1[/tex] или [tex]n=1, u= \pm3, v = \pm5[/tex] и в двата случая не е изпълнено [tex]n>1[/tex]

[estoyanovvd]

Браво, аз се измъчих с тази задачка!!!