Задача от "Теория на числата"

[joro4747]

Здравейте. Преди време си купих една книжка за Теория на числата и не мога да реша няколко задачи. Ето една от тях:
Да се докаже, че за всяко естествено число n
[tex]2^{3^{n}} + 1[/tex] дели [tex]3^{n+1}[/tex] и не дели[tex]3^{n+2}.[/tex]
Ще съм много благодарен ако някой ми помогне. Благодаря предварително.

[pal702004]

В конкретният случай може да се докаже по индукция. Нека [tex]3^k \parallel 2^a+1[/tex]
(Индукция по a, база [tex]a=3[/tex])

[tex]2^{3a}+1=(2^a+1)(2^{2a}-2^a+1)[/tex]

[tex]2^a \equiv -1 \pmod 9 \Rightarrow 2^{2a}-2^a+1 \equiv 3 \pmod 9[/tex]

Вторият множител се дели на 3 и не се дели на 9, следователно [tex]3^{k+1} \parallel 2^{3a}+1[/tex]

Ако се интересувате от теория на числата ще е полезно да прочетете за LTE.
Линк може да намерите в тази тема:
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=10&t=15535

[joro4747]

Вторият множител се дели на 3 и не се дели на 9, следователно [tex]3^{k+1} \parallel 2^{3a}+1[/tex]

Мисля, че не ме разбрахте, защото в условието има [tex]2^{3^{n}}[/tex], а не [tex]2^{3n}.[/tex]

[pal702004]

Мисля, че вие не ме разбрахте, аз за това и не използвам n. [tex]a=3^{k-1}[/tex]

[tex]2^{3a}=2^{3\cdot 3^{k-1}}=2^{3^k}[/tex]

Въвел съм го за удобство, вместо a пишете навсякъде [tex]3^{k-1}[/tex], но може да се объркате с тези степени в степени...

[inveidar]

Здравейте. Преди време си купих една книжка за Теория на числата и не мога да реша няколко задачи. Ето една от тях:
Да се докаже, че за всяко естествено число n
[tex]2^{3^{n}} + 1[/tex] дели [tex]3^{n+1}[/tex] и не дели[tex]3^{n+2}.[/tex]
Ще съм много благодарен ако някой ми помогне. Благодаря предварително.

[tex]3^{n+2}=3.3^{n+1}[/tex]. Няма начин да не дели второто, ако дели първото.

[esos104]

Здравейте, някой знае ли как се решава тази задача:
Ако n е нечестно естествено число, докажете че n^{8}-n^{6}-n^{4} +n^{2} се дели на 5760. Мерси!

[Davids]

Ще представим израза като:
$n^8 - n^6 - n^4 + n^2 = n^2(n^6 - n^4 - n^2 + 1) = n^2\big[n^4(n^2 - 1) - (n^2 - 1)\big] = n^2(n^4 - 1)(n^2 - 1) = n^2(n^2 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = n^2(n - 1)^2(n + 1)^2(n^2 + 1)$

Паралелно с това имаме: $5760 = 2^7.5.9$

Тоест в крайния вид имаме да докажем, че:
$2^7.5.9 | n^2(n - 1)^2(n + 1)^2(n^2 + 1)$

Започваме описателно. И двата множителя $(n - 1)$ и $(n + 1)$ са четни (понеже $n$ е нечетно), като един от тях ще се дели и на четири (понеже са две поредни четни числа). Това ни дава делимост на $2.4 = 2^3$ на тяхното произведение, което обаче в нашия израз се съдържа на втора степен, следователно $[(n-1)(n+1)]^2$ се дели на $(2^3)^2 = 2^6$. Последната степен на двойката (за да стане 7-ма) идва от множителя $n^2 + 1$, който също ще е четен. Така доказахме първата част от задачата - че израза се дели на $2^7$.

Делимостта на $9$ доказваме аналогично: от множителите $n - 1$, $n$ и $n + 1$ все един ще се дели на 3, понеже са три поредни естествени числа. Повдигнати на втора (както се срещат и в израза ни), все един ще ни гарантиран делимост на $3^2 = 9$.

Делимостта на пет на мен лично не ми хрумна по-кратко, та ще подходя така: имаме така или иначе три поредни нечетни естествени числа, въртящи се около $n$. Цифрата на единиците на $n$ обаче ще е нечетна, т.е. 1, 3, 5, 7 или 9. Ако е 1, 5 или 9, то един от трите множители така или иначе ще се дели на 5 (при $n \equiv 1 \mod 10$ това ще е $n - 1$; при $n \equiv 5 \mod 10$ това ще е $n$, а при $n \equiv 9 \mod 10$ това ще е $n + 1$). Така че тези цифри на единиците са подсигурени. Остава да разгледаме случаите, при които цифрата на единицата е 3 или 7, и за тази цел ще се позовем до нашия множител $n^2 + 1$, който ни дава делимост на десет и в двата случая. С това доказателството приключва.