Доказване на ирационалност

[tedkoos]

Здравейте!Как да докажа,че [tex]\sqrt[3]{5}[/tex] e ирационално?
Опитвам така : допускам,че е рационално. Тогава 5= a^3 /b^3 => 5xb^3 = a^3 . Но 5 не може да бъде представено като цяло число на степен 3 , затова твърдението е недопустимо...

[Knowledge Greedy]

Доказването е представяне на някакво твърдение в по-близка до представите ни форма, до нещо "очевидно".

Извършеното от tedkoos доказателство се основава на знания за рационалните числа - дроби, числителят и знаменателят на които са цели числа.
Първоначален пропуск в това доказателство е, че дробта [tex]\frac{a}{b }[/tex] не е "осигурена срещу съкращаване" - това може да ни изиграе лоша услуга в последващите разсъждения.
Нека предположим, че НОД[tex](a,b)=1[/tex], т.е. тази дроб е вече съкратена.
По-нататък - от равенството [tex]5a^3=b^3[/tex] какви изводи правим? (Изводът

... Но 5 не може да бъде представено като цяло число на степен 3 ,...

от който вадим окончателното заключение, е прибързан. Това не е доказателство - просто преформулировка на задачата, която ни връща на предходния ред.)

Равенството е между цели числа и е нормално да се използват свойства, свързани с делимостта на целите числа и затова се насочваме да използваме делимост.
Лявата страна на [tex]5a^3=b^3[/tex] има множител [tex]5[/tex], следователно и дясната страна ще се дели на [tex]5[/tex].
Оттук нататък попадаме в доказателство , чиято първа идея е както доказателството на Дьорд Пойа за ирационалността на [tex]\sqrt{2}[/tex]. Трябва да го има в учебника.

Доказателство ("Очевидност") на по-високо ниво. Може да конструираме полином с цели коефициенти, който да има за корен числото [tex]\sqrt[3]{5}.[/tex]
Има една теорема на Е. Безу, че ако коренът на полинома е рационално число [tex]\frac{p}{q }[/tex], то [tex]q[/tex] дели старшия коефициент на полинома, а [tex]p[/tex] дели свободния член на полинома.

Като използваме теоремата на Безу за полинома [tex]P(x)=x^3-5[/tex], ако [tex]\frac{p}{q }[/tex] е негов рационален корен , то [tex]p[/tex] дели [tex](-5)[/tex] - следователно [tex]p[/tex] е едно от числата [tex]-5,-1,1,5[/tex].
[tex]q[/tex] дели [tex]1[/tex] [tex]\Rightarrow q=1[/tex] и тъй като нито една от получените дроби не е корен на [tex]P(x)[/tex], то този полином няма рационални корени. Но ние го конструирахме така, че да има корен числото [tex]\sqrt[3]{5}[/tex]
Ето защо, това число не е рационално.

[tedkoos]

А може ли така:
Нека [tex]\sqrt[3]{5}[/tex] е рационално число. Тогава 5 = а^3 / b^3 ,където a и b са цели взаимнопрости числа.
5a^3 = b^3 --> b^3 се дели на 5. Тогава и b се дели на 5. b може да се представи като b= 5s (s е цяло число)
--> 5a^3 = (5s)^3 --> 5a^3 = 5^3 . s^3 . Но тук може да се съкрати на 5 ,което противоречи на условието a и b да са взаимнопрости --> [tex]\sqrt[3]{5}[/tex] е ирационално .

[Гост]

Ще помогнете ли за следното, моля?
Да се докаже ирационалността на числата:
[tex]\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}[/tex]
[tex]a_{1}\sqrt{p_{1}}+a_{2}\sqrt{p_{2}}+ . . . +a_{n}\sqrt{p_{n}}[/tex],
където [tex]p_{1}, p_{2}, . . . , p_{n}[/tex] са различни прости числа, а [tex]a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n}[/tex] са цели числа, различни от 0.