Да се намерят p и q

[dimo72]

Да се намерят всички прости числа p и q, за които [tex]p^3-q^5=(p+q)^2[/tex]. Как се процедира при тези задачи?

[Knowledge Greedy]

Прави няколко опита с първите прости числа.
Вижда, че става с [tex]p=7[/tex] и [tex]q=3[/tex].

След това доказва, че други няма

[dimo72]

Прави няколко опита с първите прости числа.
Вижда, че става с [tex]p=7[/tex] и [tex]q=3[/tex].

След това доказва, че други няма

А само с налучкване ли става?

[pal702004]

[tex]p^3-q^5=(p+q)^2,\quad p>q[/tex]. Да разгледаме уравнението относително [tex]q[/tex]

[tex]q^5+q^2+2pq-p^2(p-1)=0[/tex] По теоремата на Безу [tex]q[/tex] трябва да е делител на свободният член. Не може да е на [tex]p[/tex], следователно е делител на [tex]p-1[/tex]

[tex]p-1=kq\Rightarrow p=kq+1[/tex] Като заместим p в уравнението (интересува ни само свободният член) и съкратим на q, се получава свободен член [tex]k-2[/tex], тоест, q трябва да е делител на [tex]k-2[/tex]

При [tex]k=2[/tex] получаваме решението [tex]p=7,q=3[/tex]

При [tex]k>2,\quad k-2>q,\quad k>q+2 \Rightarrow p>q^2+2q+1\quad\quad (1^*)[/tex]

Да разгледаме уравнението относително [tex]p[/tex]
[tex]p^3-p^2-2qp-(q^5+q^2)=0[/tex]
[tex]p^3-p^2-2qp-q^2(q+1)(q^2-q+1)=0[/tex] Пак теоремата на Безу.
[tex]p[/tex] не може да е делител на [tex]q[/tex] и [tex]q+1[/tex]. Остава да е делител на [tex]q^2-q+1[/tex]. Противоречие с [tex](1^*)[/tex].

[Knowledge Greedy]

[tex]p^3-q^5=(p+q)^2[/tex]

Един от начините за назоваване на "Налучкване"-то, който математиците често употребяват е "Изброяване на правдоподобните случаи".
Тъй като [tex]q^5[/tex] нараства твърде бързо с нарастването на [tex]q[/tex], проверяваме в началото с [tex]q=2[/tex] - първото просто число.
[tex]p^3-32=(p+2)^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow p^3-p^2-4p-32=0[/tex]
Понеже простото число [tex]p>2[/tex] не е делител на свободния член [tex]32[/tex], явно това уравнение не притежава цял корен [tex]p[/tex] .

Заместваме [tex]q[/tex] с второто просто число [tex]q=3[/tex] .
[tex]p^3-243=(p+3)^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow p^3-p^2-6p-252=0[/tex]
Отново с таблицата и съображенията на Хорнер установяваме, че [tex]p=7[/tex] като делител на [tex]252[/tex] се оказва и корен на горното уравнение. Други реални (и цели)корени то няма, затова заключаваме, че само двойката
[tex](p=7,q=3)[/tex]е решение.

Защо няма друго решение? Отново ключ ще е числото [tex]q[/tex]. Ако то е [tex]q>3[/tex], възможните остатъци които дава [tex]q[/tex] при деление на [tex]3[/tex], са [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex]. Такива са и остатъците на [tex]p[/tex] при деление на [tex]3[/tex].
Да разгледаме таблицата на случаите за остатъците, които дават лявата и дясната страна на нашето диофантово уравнение, по модул [tex]3[/tex].

Лявата и дасната страна по (mod 3).PNG (4.67 KiB) Прегледано 1794 пъти

С това доказателството е завършено - лявата и дясната страна дават различни остатъци при деление на [tex]3,[/tex] други решения няма.

[pal702004]

Да, по модул 3 е най-добрият начин.