Делимост на 121

[Apocalyp5e]

Докажете, че [tex]n^2+3n+5[/tex] не се дели на 121 за каквато и да е стойност на естественото число [tex]n[/tex].

[martin123456]

разглеждаме остатъците на [tex]n[/tex] по модул 11
- [tex]n \equiv 0[/tex] => [tex]5[/tex]
- [tex]n \equiv 1[/tex] => [tex]1+3+5=9[/tex]
- [tex]n \equiv 2[/tex] => [tex]4+6+5 \equiv 4[/tex]
- [tex]n \equiv 3[/tex] => [tex]9+9+5 \equiv 1[/tex]
- [tex]n \equiv 4[/tex] => [tex]16+12+5 \equiv 0[/tex]
- [tex]n \equiv 5[/tex] => [tex]25+15+5 \equiv 1[/tex]
- [tex]n \equiv 6[/tex] => [tex]36+18+5 \equiv 4[/tex]
- [tex]n \equiv 7[/tex] => [tex]49+21+5 \equiv 9[/tex]
- [tex]n \equiv 8[/tex] => [tex]64+24+5 \equiv 5[/tex]
- [tex]n \equiv 9[/tex] => [tex]81+27+5 \equiv 3[/tex]
- [tex]n \equiv 10[/tex] => [tex]1-3+5 \equiv 3[/tex]
значи ни устройва само [tex]n \equiv 4 (mod 11)[/tex]. Нека [tex]n = 11k+4[/tex]. заместваме
[tex]11^2k^2+8.11k+16+3.11k+12+5=11^2k^2+8.11k+3.11k+3.11=11(11k^2+11k+3)[/tex]. искаме [tex]11^2|(11(11k^2+11k+3))[/tex] <=> [tex]11|(11k^2+11k+3)[/tex]<=>[tex]11|3[/tex].

[Apocalyp5e]

Да, браво
Може да го направиш и без да разписваш остатъците:
[tex]n^2+3n+5=(n+7)(n-4)+33.[/tex] Ако допуснем, че съществува такова n, [tex]11|n^2+3n+5, 11|33 \rightarrow 11|(n+7)(n-4).[/tex] Значи 11 дели (n+7)(n-4). Ако 11 дели някой от множителите n+7 или n-4, то от [tex](n+7) - (n-4) = 11[/tex] следва, че 11 дели и другия множител => [tex]121| (n+7)(n-4)[/tex], но понеже [tex]121 | n^2+3n+5,[/tex] то 121|33, което не е особено вярно, значи допускането ни, че съществува такова n e грешно.

[Станислав]

Мартине, а ако се проверяваше делимост на 29(или пък 257) - пак ли с директна проверка на остатъците ще процедираш?

[martin123456]

Станиславе, ако е на 257, не.