k^(2n)-1 се дели на 2^(n+2)

[Apocalyp5e]

Задача 1. Докажете, че ако k - нечетно число, n - произволно естествено число, то числото [tex]k^{2n}-1[/tex] се дели на [tex]2^{n+2}.[/tex]

Задача 2. Докажете, че ако 41 дели петцифреното число [tex]\overline{abcde},[/tex] то 41 дели всяко от числата [tex]\overline{bcdea} , \ \overline{cdeab} , \ \overline{deabc} , \ \overline{eabcd}.[/tex]

Задача 3. Ако f(x) е полином с цели коефициенти и числата f(2) и f(3) се делят на 6, докажете, че 6 дели f(5).

[martin123456]

3
[tex]f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n[/tex]
[tex]0 \equiv f(2)\hspace{2mm} (mod 3) \equiv (-1)^na_0+(-1)^{n-1}a_1+\cdots+(-1)a_{n-1}+a_n[/tex]
[tex]f(5)\hspace{2mm} (mod 3) \equiv (-1)^na_0+(-1)^{n-1}a_1+\cdots+(-1)a_{n-1}+a_n \equiv 0[/tex] => [tex]3|f(5)[/tex]
[tex]0 \equiv f(3)\hspace{2mm} (mod 2) \equiv a_0+a_1+\cdots+a_{n-1}+a_n[/tex]
[tex]f(5)\hspace{2mm} (mod 2) \equiv \equiv a_0+a_1+\cdots+a_{n-1}+a_n \equiv 0[/tex]=>[tex]2|f(5)[/tex]

[Станислав]

Известно е,че [tex]a-b|f(a)-f(b)[/tex]. Прилагаме го [tex]5-2|f(5)-f(2)\Rightarrow 3|f(5)[/tex]. Аналогично, [tex]2|f(5)[/tex].

[nikko]

2 зад.
Понеже 100000=2439.41+1, то [tex]10^5[/tex] дава остатък 1 по модул 41
41 дели [tex]\overline{abcde}[/tex], т.е. [tex]\overline{abcde}\equiv 10000a+1000b+100c+10d+e\equiv 0(\text{mod}\;41)[/tex].
Ако умножим последното равенство с 10 получаваме [tex]10(10000a+1000b+100c+10d+e)\equiv 10000b+1000c+100d+10e+a\equiv 0(\text{mod}\;41)[/tex], т.е. 41 дели и [tex]\overline{bcdea}[/tex]
Останалите числа се получават аналогично едно от друго.